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课件网) 10 【模型构建专题】相似三角形 的基本模型 类型一———A”字型 正“A”字型 斜“A”字型 模 型 展 示 DE∥BC ∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B 结论 △ADE∽△ABC △AED∽△ABC 1.如图，在△ABC中，AB＝5，点D，E分别是边AC，AB上的点，且∠ADE＝∠B，DE＝2，求AD·BC的值． 类型二———8”字型 正“8”字型 斜“8”字型 模 型 展 示 AB∥CD ∠A＝∠C或∠B＝∠D 结论 △ABO∽△DCO △ABO∽△CDO 2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O. 求证：△ABO∽△CDO. 证明：∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠OCD， ∠OBA＝∠ODC． ∴△ABO∽△CDO. 3．如图，在 ABCD中，点E是边AD上的一点．已知AE∶ED＝2∶1，AO＝4，求OC的长． 4．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，连接AE，FB，FB的延长线交AE于点M.求证： (1)△BEM∽△BFC． (2)CF2＝FB·ME. 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC， ∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠ABE＝∠BCF＝90°. 又∵BE＝CF， 类型三 一线三等角 点P在线段AB上(同侧型) 模 型 展 示 锐角一线三等角 一线三垂直 钝角一线三等角 点P在线段AB的延长线上(异侧型) 模 型 展 示 锐角一线三等角 一线三垂直 钝角一线三等角 结 论 ①△ACP∽△BPD ②当AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD时， △ACP≌△BPD 解：(1)证明：由题意，得∠AFE＝∠D＝90°， ∴∠AFB＋∠EFC＝90°. 又∵∠AFB＋∠BAF＝90°， ∴∠EFC＝∠BAF. 又∵∠B＝∠C， ∴△ABF∽△FCE. 类型四 旋转型 旋转型 模 型 展 示 ∠1＝∠2且∠B＝∠D 结论 △ABC∽△ADE 6.如图，在△ABC和△AED中，AB·AD＝AC·AE，∠CAE＝∠BAD，S△ADE＝4S△ABC． 求证：DE＝2BC． 7．如图，在△ABC和△ADE中，∠DAB＝∠EAC，AD＝6，AE＝4，DE＝9，AB＝12，AC＝8. (1)求证：△ADE∽△ABC． (2)求BC的长．(
课件网) 5 【母题探究专题】根的判别式的应用 一、根据方程根的情况，求待定系数的值或取值范围 1．若关于x的一元二次方程x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0有实数根，则k的取值范围是( ) A．k≥1 B．k＞1 C．k＜1 D．k≤1 2．若关于x的方程x2－6x＋3k＝0有两个相等的实数根，则k的值是_____. 3．若关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0有一个根为－1，则m的值是_____. D 3 0或2 4．已知关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x－1＝0有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围． (2)若方程的两个根都是有理数，请选择一个合适的m，并求出此方程的根． 二、根据判别式的值，确定方程根的情况 5．若点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一个根为0 B 6．已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2，其中p为实数．求证：方程有两个不相等的实数根． 证明：原方程化成一般形式为x2－5x＋4－p2＝0， 则Δ＝(－5)2－4(4－p2)＝9＋4p2＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 7．已知关于x的一元二次方程x2＋2(a－3)x＋a2－7a－b＋12＝0有两个相等的实数根，且满足2a－b＝0. (1)求a，b的值． (2)已知k为实数，求证：关于x的一元二次方程(－a＋b)x2＋bkx＋2k－(a＋b)＝0有两个不相等的实数根． 解：(1)∵Δ＝4(a－3)2－4(a2－7a－b＋12)＝0， ∴a＋b－3＝0. 又∵2a－b＝0，∴a＝1，b＝2. (2)证明：∵a＝1，b＝2， ∴原方程为x2＋2kx＋2k－3＝0. ∵Δ＝(2k)2－4(2k－3)＝4k2－8k＋12＝4(k－1)2＋8>0， ∴关于x的一元二次方程(－a＋b)x2＋bkx＋2k－(a＋b)＝0有两个不相等的实数根．(
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