同步练习30 数乘向量、向量的线性运算 (分值:100分) 单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共12分 1.下列说法中正确的是 ( ) A.λa与a的方向不是相同就是相反 B.若a,b共线,则b=λa C.若|b|=2|a|,则b=±2a D.若b=±2a,则|b|=2|a| 2.化简:-等于 ( ) A.a-b+2c B.5a-b+2c C.a+b+2c D.5a+b 3.如图所示,在正方形ABCD中,E为BC的中点,F为AE的中点,则等于 ( ) A.-+ B.+ C.- D.- 4.在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则等于 ( ) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 5.已知在△ABC中,向量=λ(+)(λ∈R),则点P的轨迹通过△ABC的 ( ) A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 6.若=3e1,=-5e1,且||=||,则四边形ABCD是 ( ) A.平行四边形 B.菱形 C.等腰梯形 D.不等腰的梯形 7.若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,则x= . 8.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-3+2=0,则= . 9.(10分)已知向量a,b. (1)计算6a-[4a-b-5(2a-3b)]+(a+7b);(5分) (2)把满足3m-2n=a,-4m+3n=b的向量m,n用a,b表示出来.(5分) 10.(11分)(1)如图所示,已知=,=,求证:∥;(5分) (2)已知两个非零向量e1和e2不共线,如果=2e1+3e2,=6e1+23e2,=4e1-8e2,求证:A,B,D三点共线.(6分) 11.(多选)已知向量a,b是两个非零向量,在下列条件中,一定能使a,b共线的是 ( ) A.2a-3b=4e,且a+2b=-3e B.存在相异实数λ,μ,使λa+μb=0 C.xa+yb=0(实数x,y满足x+y=0) D.已知在梯形ABCD中,=a,=b 12.(多选)已知m,n是实数,a,b是向量,则下列说法中正确的是 ( ) A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na,则m=n 13.已知点P是△ABC所在平面内一点,若=λ+,其中λ∈R,则点P一定在 ( ) A.△ABC的内部 B.边AC所在的直线上 C.边AB所在的直线上 D.边BC所在的直线上 14.过△OAB的重心G的直线与边OA,OB分别交于点P,Q,设=h,=k,则+= . 15.已知点M是△ABC所在平面内的一点,若满足6--2=0,且S△ABC=λS△ABM,则实数λ的值是 . 16.(12分)如图所示,已知D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点,延长CD到点M使DM=CD,延长BE至点N使BE=EN,求证:M,A,N三点共线. 答案精析 1．D 2.A 3.D 4.B 5.D 6.C 7．4b－3a 8.2 9．解 (1)原式＝6a－(4a－b－10a＋15b)＋a＋7b＝6a－(－6a＋14b)＋a＋7b ＝6a＋6a－14b＋a＋7b＝13a－7b. (2) ①×4＋②×3， 得(12m－8n)＋(－12m＋9n) ＝4a＋3b， 即n＝4a＋3b，代入①式， 得m＝(a＋2n)＝(a＋8a＋6b)＝3a＋2b， 故m＝3a＋2b，n＝4a＋3b. 10．证明 (1)由已知得＝－＝－＝(－)＝，∴∥. (2)∵＝＋＋ ＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2 ＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6， ∴向量与共线． 又和有共同的起点A， ∴A，B，D三点共线． 11．AB [对于A，由已知条件得，10a－b＝0，故满足条件；对于B，显然满足条件；对于C，当x＝y＝0时，a，b不一定共线；对于D，若AB∥CD，则a，b共线，若AD∥BC，则a，b不共线．] 12．AB [A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确；C中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；D中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．] 13．B [∵＝λ＋， ∴－＝λ， ∴＝λ，∴，共线且有公共点P， ∴P，A，C三点共线， ∴点P一定在边AC所在的直线上．] 14．3 解析 不妨设PQ∥AB，因为点G为△OAB的重心，所以＝，＝， 此时h＝k＝，即＋＝3. 15．3 解析 记2＝. ∵6－－2＝0， ∴－＋2－2＝0， ∴＝2，∴S△ABC＝S△ABN. 又∵S△ABM＝S△ABN， ∴S△ABC＝3S△ABM，从而有λ＝3. 16．证明 因为D为MC的中点， 且D为AB的中点， 所以＝＋， 所以＝－＝. 同理可证明＝－＝. 所以＝－. 所以，共线且有公共点A， 所以M，A，N三点共线． ... ...
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