第2课时 极差、方差与标准差 [学习目标] 1.理解样本数据的极差、方差、标准差的意义和作用,学会计算数据的极差、方差、标准差. 2.能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、极差、方差、标准差),并做出合理的解释. 导语 平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息,这是概括一组数据的特征的有效方法.但仅知道集中趋势的信息,很多时候还不能使我们做出有效决策.这节课我们共同来研究总体离散趋势的有关知识. 一、极值、方差与标准差的计算 问题1 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下: 甲:7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙:9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环 提示 经计算得=×(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7,同理可得=7. 问题2 观察下图中两人成绩的频率分布条形图,你能说明其水平差异在哪里吗 提示 直观上看,还是有差异的.如:甲成绩比较分散,乙成绩相对集中. 问题3 对于甲、乙两人的射击成绩除了画出频率分布条形图比较外,还有没有其他方法来说明两组数据的分散程度 提示 还经常用甲、乙命中环数的极差与平均数一起比较说明数据的分散程度.甲的环数极差为10-4=6,乙的环数极差为9-5=4.它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度,与平均数一起,可以给我们许多关于样本数据的信息.显然,极差对极端值非常敏感,注意到这一点,我们可以得到一种“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的统计策略. 知识梳理 1.极差 一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差. 2.方差 如果x1,x2,…,xn的平均数为,则方差可用求和符号表示为s2== 3.标准差 方差的算术平方根称为标准差.标准差描述了数据相对于平均数的离散程度,一般用s表示. s= 注意点: (1)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述,极差反映了一组数据变化的最大幅度,它对一组数据中的极端值极为敏感,一般情况下,极差大,则数据波动性大;极差小,则数据波动性小.极差只需考虑两个极端值,便于计算,但没有考虑中间的数据,可靠性较差. (2)标准差和方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小,方差、标准差的运算量较大.因为方差与原始数据单位不同,且平方后可能夸大了偏差程度,所以虽然标准差与方差在体现数据离散程度上是一样的,但解决问题时一般用标准差. 例1 甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件,为检验质量,各从中抽取6件测量,得到如下数据: 甲:99 100 98 100 100 103 乙:99 100 102 99 100 100 分别计算两组数据的平均数及方差. 解 =×(99+100+98+100+100+103)=100, =×(99+100+102+99+100+100)=100. =×[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]=, =×[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1. 反思感悟 求方差的基本方法 (1)先求平均值,再代入公式s2=或s2= (2)当一组数据重复数据较多时,可先整理出频数表,再计算s2. 跟踪训练1 某班20位女同学平均分为甲、乙两组,她们的劳动技术课考试成绩如下(单位:分): 甲组:60,90,85,75,65,70,80,90,95,80; 乙组:85,95,75,70,85,80,85,65,90,85. 试分别计算两组数据的极差、方差和标准差. 解 甲组:最高分为95分,最低分为60分,极差为95-60=35(分), 平均分=×(60+90+85+75+65+70+80+90+95+80)=79(分), 方差=×[(60-79)2+(90-79)2+(85-79)2+(75-79)2+(65-79)2+(70-79)2+(80-79)2+(90-79)2+(95-79)2+(80-79)2]=119, 标准差s甲==≈10.91. 乙组:最高分为95分,最低分为65分,极差为95-65=30(分), 平均分=×(85+95+75+70+85+80+85+65+90+85)=81.5(分), 方差=×[(85-81.5)2+(95-81.5)2+(75-81.5)2+(70-81.5)2+(85-81.5)2+(80-81.5)2+(85-81 ... ...
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