6.2.1 向量基本定理 [学习目标] 1.了解共线向量基本定理和平面向量基本定理及其意义.2.能应用共线向量基本定理和平面向量基本定理解决一些实际问题. 导语 七个音符谱出千支乐曲,二十六个字母写就百态文章!在多样的平面向量中,我们能否找到它的“基本音符”呢 一、共线向量基本定理 问题1 如果b=λa(a≠0),那么向量a,b是否共线 反过来,若向量b与非零向量a共线,那么是否存在一个实数λ,使得b=λa(a≠0) 提示 共线,存在. 知识梳理 1.共线向量基本定理 定理:如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa. 2.说明:(1)b=λa时,通常称为b能用a表示. (2)“唯一”指的是,如果还有b=μa,则有λ=μ. 3.作用:如果A,B,C是三个不同的点,则它们共线的充要条件是:存在实数λ,使得=λ. 注意点: (1)λ的值是唯一存在的. (2)利用共线向量基本定理,既可以证明点共线问题,也可以根据共线求参数的值. (3)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,从而判断共线. 例1 (1)下列命题正确的是 ( ) A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线 B.若=λ(λ≠0),则A,B,C,D四点共线 C.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb D.零向量是模为0,方向任意的向量 答案 D 解析 由于零向量与任意向量共线,所以若b为零向量,则a与c关系不确定,A错; 若=λ(λ≠0),则ABCD有可能是一个平行四边形,A,B,C,D四点不一定共线,B错; 共线向量基本定理中,当b不是零向量时,才存在唯一的实数λ,使a=λb,否则λ可能不存在,C错; 根据零向量的定义可知,零向量的模为0,方向是任意的,D显然正确. (2)设e1,e2是两个不共线的向量,=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,求实数k的值; 解 若A,B,D三点共线,则与共线.设=λ(λ∈R),∵=-=2e1-e2-(e1+3e2)=e1-4e2, ∴2e1+ke2=λe1-4λe2. 由e1与e2不共线可得 解得λ=2,k=-8. 反思感悟 利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解. 跟踪训练1 已知A,B,P三点共线,O为直线外任意一点,若=x+y,求x+y的值. 解 由于A,B,P三点共线,所以向量,在同一直线上,由共线向量基本定理可知,存在实数λ使=λ, 即-=λ(-), 所以=(1-λ)+λ, 故x=1-λ,y=λ,即x+y=1. 二、平面向量基本定理 问题2 如图,设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内与e1,e2都不共线的向量.请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量. 提示 =e1,=λ1e1,=e2,=λ2e2,=a=+=λ1e1+λ2e2. 问题3 上述问题中的分解方法是否唯一 为什么 提示 分解方法唯一.如果a还可以表示成μ1e1+μ2e2的形式,那么λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,可得(λ1-μ1)e1+(λ2-μ2)e2=0,由此式可推出λ1-μ1,λ2-μ2全为0(假设λ1-μ1,λ2-μ2不全为0,不妨假设λ1-μ1≠0,则e1=-e2.由此可得e1,e2共线,这与e1,e2不共线矛盾),即λ1=μ1,λ2=μ2,因此,分解方法是唯一的. 知识梳理 平面向量基本定理:如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=xa+yb. 平面内不共线的两个向量a与b组成该平面上向量的一组基底,记为{a,b}.此时如果c=xa+yb,则称xa+yb为c在基底{a,b}下的分解式. 注意点: (1)同一平面内基底有无数多组,只要两向量不共线即可. (2)当基底确定后,任意向量的表示式唯一,即(x,y)是唯一确定的. 例2 (1)已知{e1,e2}是表示平面内所有向量的一组基底,则下列四个向量中,不能作为一组基底的是 ( ) A.{e1+e2,e1-e2} B.{3e1-2e2,4e2-6e1} C.{e1+2e2,e2+2e1} D.{e2,e1+e2} 答案 B 解析 因为4e2-6e1=-2(3e1-2e2),所以4e2-6e1与3e1-2e2共线, 所以{3e1-2e2,4e2-6e1}不能作为基底. (2)(多选)下列说法中正确的是 ( ) A.一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底 ... ...
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