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课件网) 2.4 一元二次方程根与系数的关系 回顾 一元二次方程的一般形式 方程的判别式 当 ≥0时,方程才有解,可以用求根公式写出它的根 求根公式 这说明,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的根的值由方程的系数a,b,c来决定,除此之外,根与系数之间还有什么关系呢? 填表,观察、猜想 方 程 x1,x2 x1+ x2 x1. x2 x2 -2x +1=0 1,1 2 1 x2 +3x -10=0 2,-5 -3 -10 x2 +5x +4=0 -1,-4 -5 4 问题:你发现什么规律? ①用语言叙述你发现的规律; ②x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律. (1) x1+x2= ,(2) x1x2= . 猜想结论 这表时,当 ≥0时,一元二次方程的根与系数之间具有如下关系: 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两根的积等于常数与二次项系数的比. 利用求根公式证明 这个关系通常被称为韦达定理 例题讲解 例1 根据一元二次方程根与系数的关系,求下列方程的两根x1,x2的和与积: (1) 2x2-3x+1 = 0 ; (2) x2-3x+2= 10 ; (3) 7x2-5 = x+8 . 解:(1)x1+x2= ,x1x2= . (2)整理,得 x2-3x-8= 0,所以 x1+x2= -(-3)=3,x1x2=-8. (3)整理,得 7x2-x-13= 0,所以 x1+x2= ,x1x2= . 例题讲解 例2 已知方程5x +kx-6=0的一个根是2,求它的另一根及 k的值. 解:设另一根为x,根据根与系数的关系,可知 得到 一元二次方程根与系数的关系 两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 1.不解方程,求下列方程两根的和与两根的积各是多少? (1)x2-3x+1=0; (2)3x2-2x=2; (3)2x2+3x=0 ; (4)3x2=1. 练习 x1+x2=3, x1x2=1. 练习 2.已知方程 5x2-7x+k=0 的一个根是2, 求它的另一个根及 k 的值. 解:把x=2代入方程,得5×22-7×2+k=0. 解得 k=-6.