10.3.2 列联表与独立性检验--2025年高考数学一轮讲练复习

中小学教育资源及组卷应用平台 第2课时　列联表与独立性检验 课标解读 考向预测 1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义. 2.通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用. 预计2025年高考列联表、独立性检验可能会以实际问题为背景，与概率、随机变量的分布列及数字特征相结合命题，难度适中. 【知识梳理】 1．分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量． 2．2×2列联表 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值均为0，1，其2×2列联表为 X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 3．独立性检验 (1)零假设：以Ω为样本空间的古典概型，设X和Y为定义在Ω上，取值于{0，1}的成对分类变量，H0：P(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1)．通常称H0为零假设或原假设． (2)χ2的计算公式：记n＝a＋b＋c＋d，则χ2＝. (3)临界值：对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得后面关系成立：P(χ2≥xα)＝α.我们称xα为α的临界值，这个临界值就可以作为判断χ2大小的标准，概率值α越小，临界值xα越大． (4)基于小概率值α的检验规则是： 当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立． (5)应用独立性检验解决实际问题的主要环节 ①提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； ②根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较； ③根据检验规则得出推断结论； ④在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 【常用结论】 根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则认为两分类变量有关的把握越大． 【诊断自测】 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分类变量中的变量与函数中的变量是同一概念．(　　) (2)2×2列联表是借助两个分类变量之间频率大小差异说明两个变量之间是否有关联．(　　) (3)应用独立性检验的基本思想对两个变量间的关系作出的推断一定是正确的．(　　) (4)若分类变量X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越小．(　　) 2．小题热身 (1)(人教B选择性必修第二册4.3.2练习A T2改编)为了解某大学的学生是否爱好体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表： 男 女 合计 爱好 a b 73 不爱好 c 25 合计 74 则a－b－c＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 (2)在下列两个分类变量X，Y的样本频数列联表中，可以判断X，Y之间有无关系的是(　　) y1 y2 合计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d A． B． C． D． (3)已知P(χ2≥6.635)＝0.01，P(χ2≥10.828)＝0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，则根据小概率值α＝_____的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关． 【考点探究】 考点一　分类变量的两种统计表示形式(多考向探究) 考向1　等高堆积条形图 例1　(2023·四川南充三诊)为考查A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高堆积条形图，根据图中信息，下列说法最佳的是(　　) A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果 B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果 C．药物A，B对该疾病均有显著的预防效果 D．药物A，B对该疾病均没有预防效果 【通性通法】 在等高堆积条形图中，与相差越大，我们认为两个分类变量之间关系越强． 【巩固迁移】 1．(多选)现行普通高中学生在高一时面临着选科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图： 根据这两幅图中的信息，下列 ... ...