第2课时 函数性质的应用 【学习目标】 掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性),能应用函数的基本性质解决一些问题. ◆ 知识点 函数的奇偶性、单调性 (1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性. (2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值;奇函数在关于原点对称的区间上的最大(小)值与最小(大)值互为相反数. (3)奇偶性与单调性都是函数的重要性质,单调性是函数的“局部”性质,研究的是函数值随自变量的变化趋势;而奇偶性是函数的“整体”性质,研究的是函数图象在整个定义域上的对称性. ◆ 探究点一 利用函数的奇偶性求函数的解析式 例1 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2-x+1,求函数f(x)的解析式. (2)已知函数f(x)(x∈R)满足y=f(x)-x2-3为奇函数,函数y=f(x)+2x为偶函数,求f(x)的解析式. 变式 (1)已知函数f(x)为奇函数,函数g(x)为偶函数,f(x)+g(x)=x2-x+1,则f(2)=( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 (2)将例1(1)中的“奇函数”改为“偶函数”,其他条件不变,求当x>0时,函数f(x)的解析式. [素养小结] 利用奇偶性求函数解析式的思路:(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就设在哪个区间上.(2)利用f(x)在已知区间上的解析式,写出f(-x).(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(x),从而得到f(x)的解析式. ◆ 探究点二 利用函数的单调性、奇偶性解不等式 例2 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若对于任意不相等的实数x1,x2∈[0,+∞),不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立,求不等式f(2x)>f(x-1)的解集. 变式 f(x)是定义在[-4,2b]上的偶函数,且在[-2b,0]上单调递增,则f(x+1)≤f(-1)的解集为 ( ) A.[-2,0] B.[-5,3] C.[-5,-2]∪[0,3] D.(-∞,-2]∪[0,+∞) [素养小结] 利用函数的单调性、奇偶性解不等式,首先应利用已知条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式,然后再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性一致,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反,脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解. ◆ 探究点三 利用函数的单调性、奇偶性比较大小 例3 f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递减,则 ( ) A.f(-2)
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