22.2 二次函数与一元二次方程 任务一 抛物线与坐标轴的公共点情况的判断和应用 母题1 已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数). (1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点. (2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点 【关键点拨】 变式练1：若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点,则m的取值范围是 . 任务二 二次函数与一元二次方程关系的综合应用 母题2 已知抛物线y=x2,直线y=(k+2)x-(2k-1). (1)求证:无论k为何实数,该抛物线与直线恒有两个交点. (2)设两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),若x1,x2均为整数,求k的值. 【关键点拨】 变式练2：如图,二次函数y=-2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,且与y轴交于点C. (1)求m的值及点B的坐标. (2)求△ABC的面积. (3)若该二次函数图象上有一点D(x,y),使S△ABD=S△ABC,请求出点D的坐标. 任务三 二次函数与一元二次方程、不等式的综合 母题3 如图,抛物线y1=-x2+2x+3与直线y2=4x交于A,B两点. (1)求A,B两点的坐标. (2)当x取何值时,y1>y2 (3)利用图象解不等式-x2+2x+3≥0. 【关键点拨】 根据图象确定不等式ax2+bx+cy2,求x的取值范围. 参考答案 母题1 解:(1)证明:∵Δ=(-2m)2-4×1×(m2+3)=4m2-4m2-12=-12<0, ∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数解, 即不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点. (2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3, 把函数y=(x-m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x-m)2的图象,它的顶点坐标是(m,0), 此时这个函数的图象与x轴只有一个公共点, ∴把函数y=x2-2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点. 变式练1 m<1且m≠0 提示:∵二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点, ∴方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根,且m≠0, ∴Δ=22-4m>0, ∴m<1, ∴m<1且m≠0. 故答案为m<1且m≠0. 母题2 解:(1)证明:当x2=(k+2)x-(2k-1)时, 整理得x2-(k+2)x+(2k-1)=0, ∵b2-4ac=[-(k+2)]2-4(2k-1)=k2-4k+8=(k-2)2+4. ∵(k-2)2≥0, ∴(k-2)2+4>0, ∴无论k为何实数,该抛物线与直线恒有两个交点. (2)∵x2-(k+2)x+(2k-1)=0, x1,x2均为整数, ∴x1+x2=k+2,x1·x2=2k-1都是整数, ∴k也为整数,(k-2)2+4也是整数且是完全平方数, ∴(k-2)2+4=4, ∴解得k=2. 变式练2 解:(1)∵函数图象过点A(3,0), ∴-18+12+m=0, ∴m=6, ∴该函数的解析式为y=-2x2+4x+6, ∴当-2x2+4x+6=0时,x1=-1,x2=3, ∴点B的坐标为(-1,0). (2)点C的坐标为(0,6),S△ABC=AB×OC=×4×6=12. (3)∵S△ABD=S△ABC=12. ∴S△ABD==12, ∴|y|=6. ①当y=6时,-2x2+4x+6=6,解得x1=0,x2=2, ∴点D的坐标为(0,6)或(2,6). ②当y=-6时,-2x2+4x+6=-6,解得x1=1+,x2=1-, ∴点D的坐标为(1+,-6),(1-,-6). 综上所述,点D的坐标为(0,6),(2,6),(1+,-6),(1-,-6). 母题3 解:(1)由题意可得 解得 所以点A的坐标是(1,4),点B的坐标是(-3,-12). (2)由题图可知,当-3y2. (3)∵-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3, ∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0), 由图象可知不等式-x2+2x+3≥0的解集为-1≤x≤3. 变式练3 解:(1)当k=2时,y1=2x2+3x-2=2x+2-, ∴二次函数图象的顶点坐标为-,-. (2)①令y1=0,即kx2+(2k-1)x-2=0, 解得x=-2或x=, ∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为(-2,0),,0. 根据题意,得-(-2)=3, 解 ... ...
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