28.2 解直角三角形及其应用 同步培优训练 （含答案）2024-2025学年数学人教版九年级下册

28.2　解直角三角形及其应用 任务一　解直角三角形 母题1　如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,E为边AC的中点, BC=14,AD=12,sinB=. (1)求线段DC的长. (2)求sin∠EDC的值. 变式练1：如图,在△ABC中,CD是边AB上的高,AE是BC边上的中线,已知AD=8,BD=4,cos∠ABC=. (1)求高CD的长. (2)求tan∠EAB的值. 任务二　解非直角三角形 母题2　如图,在△ABC中,∠B=30°,∠ACB=135°,AB=16,求BC的长. 变式练2：如图,在△ABC中,∠B=45°,AB=3,AC=5,求边BC的长. 任务三　利用解直角三角形求图形的面积 母题3　如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠C=60°,AB=5,AD=2. (1)求CD的长. (2)求四边形ABCD的面积. 变式练3：如图,在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,∠B=∠D=90°, 求四边形ABCD的面积. 任务四　利用解直角三角形求物体的高或宽 子任务1　求物体的宽 母题4　如图,这是放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,灯臂AO长为40 cm,与水平面所形成的夹角∠OAM为75°.由光源O射出的边缘光线OC,OB与水平面所形成的夹角∠OCA,∠OBA分别为90°和30°,求该台灯照亮水平面的宽度BC.(不考虑其他因素,结果精确到0.1 cm,参考数据:sin 75°≈0.97,cos 75°≈0.26,≈1.73) 变式练4：我国“巅峰使命”珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察,搭建了世界最高海拔的自动气象站,还通过释放气球方式进行了高空探测.某学校兴趣小组开展实践活动,通过观测数据,计算气球升空的高度AB. 如图,在平面内,点B,C,D在同一直线上,AB⊥CB,垂足为点B, ∠ACB=52°,∠ADB=60°,CD=200 m,求AB的高度.(精确到1m, 参考数据:sin52°≈0.79,cos 52°≈0.62,tan 52°≈1.28,≈1.73) 子任务2　求物体的高 母题5　某大桥采用低塔斜拉桥桥型,其平面图如图所示.假设站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是27°,拉索BD与水平桥面的夹角是58°,两拉索底端距离AD=20米,求立柱BC的高.(结果保留一位小数,参考数据:tan 58°≈1.6,tan 27°≈0.5) 变式练5：利用风力发电非常环保,且风能蕴量巨大,因此风力发电日益受到重视.风电机组主要由塔杆和叶片组成,如图,琳琳站在A处测得一塔杆顶端C的仰角是60°,她又沿HA方向水平前进40米到达山底G处,在山顶B处发现当一叶片到达最高位置时,测得叶片的顶端D的仰角是45°(点D,C,H在同一直线上). 已知塔杆CH的高为60米(塔杆与叶片连接处的长度忽略不计), 山高BG为20米,BG⊥HG,CH⊥AH,求叶片DC的长度.(结果保留根号) 参考答案 母题1　解:(1)∵AD是边BC上的高, ∴AD⊥BC. ∴sin B==. ∵AD=12, ∴AB===15. 在Rt△ABD中,∵BD===9, ∴CD=BC-BD=14-9=5. (2)在Rt△ADC中,∵AD=12,DC=5, ∴AC=13. ∵E是AC的中点, ∴DE=EC, ∴∠EDC=∠C, ∴sin∠EDC=sin∠C==. 变式练1　解:(1)在Rt△BCD中, ∵cos∠ABC==, ∴=, ∴BC=5, ∴CD===3. (2)过点E作EF⊥AB,垂足为F,如图. ∵EF⊥BD, ∴CD∥EF. ∵E为BC的中点, ∴EF是△BCD的中位线, ∴EF=CD=×3=,DF=BD=×4=2, ∴AF=AD+DF=8+2=10. 在Rt△AEF中, ∴tan∠EAB===. 母题2　解:如图,过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D, 在Rt△ADB中,∠B=30°,AB=16, ∴AD=AB·sin 30°=8, BD=AB·cos 30°=8. ∵∠ACB=135°, ∴∠ACD=180°-135°=45°, ∴CD=AD=8,∴BC=BD-CD=8-8. 变式练2　解:如图,过点A作AH⊥BC,垂足为H. 在Rt△ABH中,∠B=45°,AB=3, ∴AH=AB·sin B=3×=3,∴BH=AH=3. ∵AC=5, ∴在Rt△ACH中,CH===4, ∴BC=BH+CH=3+4=7. 母题3　解:(1)延长BA,CD交于点H,如图所示. ∵∠B=∠ADC=90°,∠C=60°, ∴∠ADH=90°,∠H=30°, ∴HA=2AD=4,CH=2BC, ∴DH===2,BH=HA+AB=4+5=9. ∵BH===BC=9, ∴BC=3, ∴CH=2BC=6, ∴CD=CH-HD=6-2=4. (2)四边形ABCD的面积=△BCH的面积-△ADH的面积=×3×9-×2×2=. 变式练3　解:延长AD,BC相交于点E,如图. ∵∠A=60°,∠B=90 ... ...