用二元一次方程组确定一次函数表达式 习题讲解

《第五章7　用二元一次方程组确定一次函数表达式》讲解与例题 基础知识-基本技能 1．二元一次方程与一次函数的关系 若k，b表示常数且k≠0，则y－kx＝b 为二元一次方程，有无数个解；将其变形可得y＝kx＋b，将x，y看作自变量、因变量，则y＝kx＋b是一次函数．事实上，以方程y－kx＝b的解为坐标的点组成的图象与一次函数y＝kx＋b的图象相同． 【例1】 (1)方程x＋y＝5的解有多少个？写出其中的几个． (2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y＝5－x的图象上吗？ (3)在一次函数y＝5－x的图象上任取一点，它的坐标适合x＋y＝5吗？ (4)以方程x＋y＝5的解为坐标的所有点所组成的图象与一次函数y＝5－x的图象相同吗？ 分析：方程x＋y＝5的解有无数个，以这些解为坐标的点组成的图象与一次函数y＝5－x的图象相同，二者是相同的． 解：(1)有无数个． (2)以这些解为坐标的点，都在一次函数y＝5－x的图象上． (3)适合． (4)相同． 2．用图象法求二元一次方程组的近似解 用图象法求二元一次方程组的近似解的一般步骤： (1)先把方程组中两个二元一次方程转化为一次函数的形式：y1＝k1x＋b1和y2＝k2x＋b2； (2)建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象； (3)写出这两条直线的交点的横纵坐标，这两个数的值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x，纵坐标是y. 【例2】 用作图象的方法解方程组： 分析：先把两个方程化成一次函数的形式；再在同一直角坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解． 解：由①，得y＝x－3； 由②，得y＝－x－. 在同一直角坐标系内作出一次函数y＝x－3的 图象l1和一次函数y＝－x－的图象l2，如图所示．观察图象，得l1和l2交点的坐标为M(1，－2)． 故方程组的解为 3．利用二元一次方程组确定一次函数的表达式 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是 也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．因此一次函数与二元一次方程组有密切联系． 利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的一般步骤如下： (1)写出函数表达式：一次函数y＝kx＋b； (2)把已知条件代入，得到关于k，b的方程组； (3)解方程组，求出k，b的值，写出其表达式． 【例3】 已知一次函数y＝ax＋2与y＝kx＋b的图象如图所示，且方程组的解为点B坐标为(0，－1)．你能确定两个一次函数的表达式吗？ 分析：根据方程组与一次函数图象的关系，先确定两图象的交点A的坐标，再代入表达式，求出字母a，k， b的值． 解：∵方程组的解是 ∴交点A的坐标为(2,1)． ∴点A在函数y＝ax＋2的图象上， 2a＋2＝1. ∴a＝－. ∵点A(2,1)，点B(0，－1)在函数y＝kx＋b图象上， ∴ 解得 ∴两个一次函数的表达式为y＝－x＋2，y＝x－1. 析规律 方程组的解与交点坐标 方程组的解就是两个一次函数图象的交点的坐标． 4．用待定系数法求一次函数的表达式 用待定系数法求一次函数的表达式的方法可归纳为“一设，二列，三解，四还原”． 具体的说明如下： 一设：设出一次函数表达式的一般形式y＝kx＋b(k≠0)； 二列：根据已知两点或已知图象上的两个点坐标列出关于k，b的二元一次方程组； 三解：解这个方程组，求出k，b的值； 四还原：将已求得的k，b的值再代入y＝kx＋b(k≠0)中，从而得到所要求的一次函数的表达式． 确定二元一次方程(组)中字 母的取值，是一类常见的题目，解这类问题的基本方法是利用方程(组)的有关知识，得到含有字母系数的方程(组)，然后解这个方程(组)，求出待定字母． 析规律 求与坐标轴的交点坐标 解答这类问题要切记，函数图象与x轴的交点的纵坐标是0，函数图象与y轴的交点的横坐标 ... ...