北京大学2024年中学生物理学科金秋营试题（PDF版，含答案）

北京大学2024年中学生物理金秋营试题 一、一个弹硬币的简单模型(40分) 一个硬币静止地放在光滑桌面的桌边，只有右侧一点露出桌面，已知硬币可视为匀质圆盘，质量为，半 径为「，重力加速度为g,现在在硬币右侧施加一竖直冲量I右 (1)求施加冲量后一瞬间硬币的质心速度V。与角速度： (②)受冲击之后，硬币有可能飞离桌面。求出使硬币飞离桌面的最小初速度V,.mn以及在V,>V.mn时硬币脱 离时与水平方向夹角0； (3)当时O=π/6，试通过计算说明硬币落地时是否会翻面，已知硬币与地面发生完全非弹性碰撞。 二、早期宇宙的简单模型(30分) 早期宇宙中充斥着大量极端相对论性粒子，如正电子与负电子(+、e),中微子与反中 微子(vy、)以及光子(y)。它们都是费米子或玻色子。已知这两种粒子能量在e,e十de 内的粒子数密度满足 fB(e)ds= 4πge2 de(玻色子)； c3h3(e -1) fr(e)de= 4πge2 de(费米子) c3h3(e7+1) 其中g是粒子简并度（电子、中微子为4，光子为2），已知阶乘的定义n!=0°x”erdx ,黎曼zta函数定义为(m)=∑1xm”,此函数在一些点处的值： S(2)= 6,63)=1.2021,04=0,606)=1.0369,06= π5 945 (1)求三种粒子的能量密度ue(T)、uv(T)、uv(T): (2)考虑宇宙的膨胀过程，一个共动区域体积V、温度T,求此区域体积膨胀为V后的温 度T': (3)中微子解耦与电子湮灭：在温度降至T≈1011K时发生中微子解耦，使中微子的后 续演化独立于电子与光子。接下来在Te≈6×10°K时正电子与负电子迅速湮灭，产生 光子，若此过程是可逆的，试求解此时光子气的温度T: (4)接上一问，现在在宇宙背景中，光子气的温度是Tmw=2.7K,试求解此时中微子 气的温度Tw,noc: 三、5G天线的简单模型(30分) 有三根天线A、B、C,其坐标为(0，a),(0,0),(0,-Q),均可独立设置一个恒定的附 加相位差。现有一个手机向天线发送信号，已知接收到信号的时间分别为TA、TB、Tc 附加相位差均为0，光速为c。 (1)求出以B为原点，x轴为极轴建立的极坐标系下手机的坐标(r,)。(已知r≥α)： (2)接上一问，已知信号频率为∫，求三根天线接收信号之叠加的功率I3与单独一根天线 接收到的信号功率1之比。 (3)现在在(R,一)处有一个干扰源，其信号频率也为f,请问应如何调节附加相位差，使 天线抗干扰？（已知R>a) 四、电偶极子的振动(40分) (1)已知空间中只有c>0且y>0的区域为真空，其余区域为导体。在(a,b,c)处有一点 电荷q,求解(x,十0，z)与（十0，y,)处的电场强度。 (2)接(1)，点电荷替换为一个电偶极子，正电荷带点+q,质量M;负电荷带电一q,质量 m,两者距离为d0,质心固定在(a,a,0)处，电偶极子可绕质心在三维空间内自由转 动，求解： (2.1)电偶极子所有可能的平衡方向（用从负电荷指向正电荷的矢量d表示） (2.2)判断这些方向的平衡稳定性，稳定的求出其微振动角频率w。 ... ...