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课件网) 三角函数的概念 O P A 我们能否建立一个函数模型， 刻画点P的位置变化情况？ 圆O上的点 P以 A为起点做逆时针旋转 ① 建立函数模型,要利用直角坐标系。 分析要解决这个问题，我们需要什么工具？ ② 根据任意角的定义，需要借助单位圆。 O P A (1,0) (x,y) 问题1: 这个运动过程中的有哪些变量，判断 它们之间是否具有函数关系.如果有， 能否写出函数解析式？ x y O A (1,0) 点P 在单位圆上运动过程中涉及的变量有：点P的横坐标、纵坐标，弧长，旋转角度 . P (x,y) 判断变量：间的哪两个变量能否构成函数关系？ x y O A (1,0) M P (x,y) 根据勾股定理可知 即 问题2: 若角 终边与单位圆交于点P， 如何求点P的坐标呢？ x y 当我们遇到一般性问题应该如何研究？ 特殊化 O A (1,0) P (x,y) 设 M 中 可得,, 即, 所以点P的坐标为. 当时，点P的坐标是什么？ x y O A (1,0) M P (x,y) 当 , 所以点P的坐标为. x y 任意给定一个角 ，点P的坐标唯一确定吗？ 因为单位圆的半径不变，点P的坐标只与角 的大小有关，当角 确定时，点P的坐标是 也唯一确定. O A (1,0) P (x,y) x y 在展示的运动变化的过程中，观察角 的终边与单位圆的交点P的坐标，有什么发现？能否运用函数的语言刻画这种对应关系呢？ 对任意一个实数α，它的终边OP与单位圆的交点P的横、纵坐标x、y都是唯一确定的，有如下对应关系： O A (1,0) P (x,y) ①任意角α (弧度)→ 唯一实数x； ②任意角α (弧度)→ 唯一实数y。 x y O A (1,0) 任意角三角函数定义 P (x,y) 设 是一个任意角， ∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y)， x y 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记做，即； 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记做，； 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫 做α的正切函数，记做tan α， 即. 正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？ O A (1,0) P (x,y) 实数 (弧度)对应 于点的纵坐标y →正弦函数； x y 实数 (弧度)对应 于点的横坐标 →余弦函数； O A (1,0) P (x,y) x y 当点的横坐标为0时，角的终边在轴上，此时，所以无意义。 因此，对于确定的角，的值也是唯一确定的，所以也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数，称为正切函数。 O A (1,0) P (x,y) x y 实数α (弧度)对应于点P的纵坐标y与横坐标 (x≠0)之比→正切函数. 任意角三角函数的定义是否符合高中函数的定义？ O A (1,0) P (x,y) x y 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或者坐标的比值为函数值的函数。由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系， 所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数. 正弦函数：； 余弦函数：； 正切函数：. 三角函数 任意角三角函数的定义域分别是什么呢？ O A (1,0) P (x,y) x y 正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集，即， ，对于正切函数而言，要求点的横坐标，即角的终边不能位于轴上，那么正切函数的定义域为 这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢？ O A (1,0) P (x,y) x y 任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，锐角三角函数是通过直角三角形边长的比值定义的，在单位圆中直角三角形斜边为1，所以锐角三角函数也可用角的终边与单位圆交点的坐标定义，此时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意角的三角函数值可以是负数. 这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢？ O A (1,0) P (x,y) x y ； ； . O A (1,0) B x y 例1.求的正弦、余弦和正切值。 解： 在直角坐标系中作∠ = , ∠ 的终边与单位圆的 交点 的坐标为 O P x y 例2.如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点 ... ...
