浙江省衢州五校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题（含答案）

2024学年第一学期衢州五校联盟期中联考 高二年级数学学科试题 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 【答案】A 2. 【答案】B 3. 【答案】A 4. 【答案】B 5. 【答案】C 6. 【答案】C 7. 【答案】D 8. 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 【答案】AD 10. 【答案】BCD 11. 【答案】ABD 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.【答案】 13.【答案】 14.【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； （2）求出圆的标准方程，分析可知，当时，圆心到直线的距离最大，此时，圆截直线的弦长最短，利用勾股定理可求得弦长的最小值. 【小问1详解】 因为直线与直线平行， 则，解得. 【小问2详解】 圆关于直线的对称图形为曲线是圆， 圆的圆心为，半径为， 设圆心，直线的斜率为， 由题意可得，解得， 所以，圆的标准方程为， 因为，所以，点在圆内， 当时，圆心到直线的距离取最大值，且， 所以，圆截直线的弦长的最小值为. 16. 【解析】 【分析】（1）在中，由正弦定理，，求解得和. （2）由（1）结合已知求得，令，，由余弦定理及基本不等式可求出的最大值，即可求出四边形周长的最大值. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得：， 又，则，于是． 【小问2详解】 依题意，， 则，有，， 则，在中，， 令，在中，由余弦定理得， 于是，解得，当且仅当时取等号， 所以四边形周长的最大值为. 17. 【解析】 分析】（1）过点作，根据角度关系证明，结合可证明平面； （2）方法一：根据四棱锥的体积先计算出四棱锥的高，然后建立空间直角坐标系分别求解出平面和平面的法向量，根据法向量夹角的余弦值求解出二面角的平面角的余弦值；方法二：通过三垂线作法先找到二面角的平面角，然后结合线段长度求解出二面角的平面角的余弦值. 【小问1详解】 过点作交于点，如下图所示， 四边形为等腰梯形，， ，所以，即，即， 又平面， 平面. 【小问2详解】 方法一：设四棱锥的高为， ， 四边形为平行四边形， ， ， 又平面； 如图，以为原点，以方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， ，， ，，且 ， 设平面的法向量为，则， 取，则，， 设面法向量为，则， 取，则，得， 由题意，， 设二面角夹角为是钝角，则． 方法二：设四棱锥的高为，， ， 又平面； 又平面平面平面， 过作交延长线于， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面， 过作的垂线，垂足为，连， 由于平面， 平面 平面，， 则为所求二面角的平面角的补角． ， 四边形平行四边形，， ，， ，， 平面，平面， ，， 设二面角的平面角为则． 18. 【分析】（1）设直线：，与椭圆方程联立，根据直线与椭圆相切，所以方程组只有一解，可求的值，进而可得切点坐标. （2）设直线：，根据直线与椭圆相切，可得的关系；再根据直线，得到直线的方程，联立直线的方程，可得点坐标，表示出的面积，结合基本（均值）不等式求最大值. 【小问1详解】 设直线：，代入椭圆， 得： 动直线与椭圆相切于点． 又因为点在第一象限，． 方程的解为，得 【小问2详解】 如图： 设直线交轴于 因为直线与垂直，．联立与，得 将代入椭圆 得 动直线与椭圆相切于点得 即 当且仅当，即时取等号．面积的最大值为． 19. 【解析】 【分析】（1）根据定义计算即可； （2）设，分类讨论，去绝对值即可得到正方形，后求面积； （3）动点围成的几何体为八面体，每个面均 ... ...