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课件网) 人教版 八年级数学上 13.4 课题学习 最短路径问题 学习目标 1.掌握利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． （重点） 温故知新 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ A B ① ② ③ ②最短，因为两点之间，线段最短 2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ P l A B C D PC最短，因为垂线段最短 情境导入 “两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各 点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题. 本节我们将通过探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造 桥选址问题”来体会如何运用所学知识选择最短路径。 A B ① ② ③ P l A B C D 合作探究 问题1 如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后 到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ C（动点） 转化成 A B l 数学问题 所求问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题. 实际问题 A B l 合作探究 思考1：由以上问题，我们假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？ 请说明理由. A l B C 理由：“两点之间，线段最短” 连接AB,与直线l相交于一点C， 点C即为所求. 合作探究 思考2：当点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？ A B l 利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′这样我们就将同侧问题转化为了异侧问题。 如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB=CB′？ 合作探究 作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C． 则点C 即为所求． A B l B ′ C 合作探究 思考3：你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴AC+BC=AC+B′C=AB′， ∴AC′+BC′=AC′+B′C′． 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′， ∴AC+BC＜AC′+BC′． 即AC +BC 最短． A B l B ′ C C ′ 合作探究 点A,B分别在直线l异侧 A l B C 归纳总结： 点A,B分别在直线l同侧 A B l B ′ C 小试牛刀 1.如图，P、Q是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点M建一个服务中心，使PM+QM最短，下面四种选址方案符合要求的是（ ） P Q l A M P Q l B M P Q l C M P Q l D M D 小试牛刀 2.如图，等边三角形ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=3，当EF+CF取最小值时，∠EBF的度数为（ ） A．15° B．30° C．45° D．22.5° B 合作探究 问题2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？ A B N M 转化成 所求问题：在a、b上分别求作M、N,使AM+MN+NB最短问题. B A b a 合作探究 B A ● ● N M N M N M 如图，假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ 由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小，那么点N在直线b的什么位置，AM+NB最小？ a b 能否通过图形的变化（轴对称、平移等），把图形转化为两点在直线异侧的问题？ 合作探究 B A A1 M N 如图，将AM移沿与河岸垂直的方向平移，点M移到点N，点A移到A1，则AM=A1N，AM+NB=A1N+NB. a b 问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A１N+NB最小？ M N 合作探究 B A A1 M N 理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１. Ｎ１ Ｍ１ 由平移性质可知： AM＝A ... ...
