2.1椭圆——高二数学北师大版(2019)选择性必修一课时优化训练（含解析）

2.1椭圆 ———高二数学北师大版(2019)选择性必修一课时优化训练 1.已知圆C的方程为，，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 2.已知,是椭圆的两个焦点,P是椭圆上一点,则的最大值是( ) A. B.9 C.16 D.25 3.已知椭圆C:，四点，，，中恰有三点在椭圆C上，则椭圆C的标准方程为( ) A. B. C. D. 4.已知椭圆的离心率为,长轴长为4,则该椭圆的短轴长为( ) A. B. C. D. 5.“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知椭圆的离心率为，，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若，则C的方程为( ) A. B. C. D. 7.已知点P是椭圆上一点,椭圆的左、右焦点分别为、,且,则的面积为( ) A.6 B.12 C. D. 8.已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，若使为直角三角形的点M有8个，则C的离心率的范围是( ) A. B. C. D. 9.（多选）已知椭圆的两个焦点分别为,,点在椭圆C上,则( ) A. B.的面积为2 C.椭圆C的离心率为 D.的内切圆半径为 10.（多选）下列命题错误的是( ) A.若定点,,满足,动点P满足,则动点P的轨迹是椭圆 B.若定点,,满足,动点M满足,则M的轨迹是椭圆 C.当时,曲线表示椭圆 D.若动点M的坐标满足方程,则点M的轨迹是椭圆,且焦点坐标为 11.已知椭圆的焦点在x轴上且焦距为2，则m的值为_____ 12.如图，把椭圆的长轴八等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，…，七个点，F是椭圆的一个焦点，则的值为_____. 13.已知,是椭圆的左,右焦点,E上两点A,B满足,,则E的离心率为_____． 14.已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求C的方程； （2）设过C的左焦点且斜率为的直线与C交于M，N两点，求的面积. 15.已知椭圆C:的离心率为,C上的点到其一个焦点的距离的最大值为3. （1）求C的标准方程; （2）设A,B为C的左,右顶点,P(异于左,右顶点)为C上一动点,直线PA,PB的斜率分别为,,求证:为定值. 答案以及解析 1.答案：C 解析：因为点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，所以，所以，而， 所以点P的轨迹是椭圆，且，，解得，，则， 所以点P的轨迹方程是.故选C. 2.答案：D 解析：因为,所以, 当且仅当时,取到最大值. 故选：D. 3.答案：D 解析：根据椭圆的对称性可知，在椭圆上，不在椭圆上，在椭圆上. 将，代入椭圆方程得: ， 解得， 椭圆C的标准方程为. 故选:D. 4.答案：B 解析：椭圆 的离心率为,长轴长为4, 即有,,, 又, 解得, 所以椭圆的短轴长为:. 故选：B. 5.答案：B 解析：是交点在y轴上的椭圆， ， 解得， 在的范围内， 是方程表示焦点在y轴上的椭圆的必要不充分条件. 故本题选B. 6.答案：B 解析：解法1：由题可知，，， 则，即，所以，即.又离心率，所以，即，，椭圆C的方程为，故选B. 解法2：因为椭圆的离心率，可排除C和D，将代入A和B中验证即可. 7.答案：C 解析：由椭圆,得,,. 设,, ,在中,由余弦定理可得：, 可得,得, 故. 故选：C. 8.答案：C 解析： 为直角三角形，可分为以下三类讨论： 以点为直角顶点；以点为直角顶点；以点M为直角顶点. 由椭圆的对称性可知：以点为直角顶点的点M有两个；以点为直角顶点的点M有两个， 则要使为直角三角形点M有8个，须使以点M为直角顶点的直角三角形有4个. 由椭圆的对称性可得在轴上方有两个点M满足以点M为直角顶点. 则， 即， 所以，解得即， 所以， 又因为椭圆离心率， 所以. 故选：C. 9.答案：ABD 解析：依题意,解得,则,所以椭圆方程为, 所以,,即,,所以离心率,故A正确,C错误; 所以,故B正确; 又,设的内切圆半径为r, 则,即,解得,故D正确. 故选：ABD. 10.答案：AC 解析：对于A中,若定点,,满足,动点P满足, 可得点P的轨迹为以,为端点的线段,所以A不正确; 对于B中,若定点,,满足,动点M满 ... ...