3.4向量在立体几何中的应用——高二数学北师大版(2019)选择性必修一课时优化训练（含解析）

3.4向量在立体几何中的应用 ———高二数学北师大版(2019)选择性必修一课时优化训练 1.设，分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为，则t等于( ) A.1 B. C.或1 D.2 2.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 3.已知空间四点O，A，B，P满足，其中，则下列说法正确的是( ) A.点P一定在直线AB上 B.点P一定不在直线AB上 C.点P不一定在直线AB上 D.以上都不对 4.已知四棱锥的底面为直角梯形，，,底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为( ) A. B. C. D. 5.已知正方体的棱长为2,E、F分别为上底面和侧面的中心,则点D到平面的距离为( ) A. B. C. D. 6.已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，棱AB，SC的中点分别为E，F.若直线EC与BF所成角的余弦值为，则( ) A.2 B. C.4 D.1 7.已知PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 8.如图所示，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱为长方体，，点E为的中点，则二面角的余弦值为( ) A. B. C. D. 9.（多选）在正方体中,若E为的中点,则与直线CE不垂直的有( ) A.AC B.BD C. D. 10.（多选）如图,在正方体中,E为棱上的一个动点,F为棱上的一个动点,则直线与平面EFB所成的角可能是( ) A. B. C. D. 11.已知直线l的方向向是为,平面的一个法向量为,则直线l与平面所成的角是_____. 12.已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，且，，.下列结论中正确的是_____. ①； ②； ③是平面ABCD的法向量； ④. 13.正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2，P，Q分别是异面直线和BD上的任意一点，则P，Q间距离的最小值为_____. 14.如图，在正四棱柱中，，E为棱的中点. （1）用向量法证明平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 15.已知正方形ABCD的边长为1，平面ABCD，且，E，F分别为AB，BC的中点. （1）求点D到平面PEF的距离； （2）求直线AC到平面PEF的距离. 答案以及解析 1.答案：C 解析：因为法向量a，b所成的角与两平面所成的角相等或互补，所以，得. 2.答案：A 解析：以为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，， ，， ， 故选：A. 3.答案：A 解析：由得，结合题意知，即，即，据此可知，A，P，B三点共线，点P一定在直线AB上. 4.答案：B 解析：四棱锥的底面为直角梯形，，， 底面，且，， 以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设直线与所成角为，则， 直线与所成角的余弦值为. 故选：B 5.答案：A 解析：建立如图所示的空间直角坐标系 ,,,,,, 设平面的法向量为,,令,得 则点D到平面的距离为. 故选：A. 6.答案：C 解析：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 设，则，，，， 所以，所以，. 因为直线EC与BF所成角的余弦值为， 所以，解得（负值舍去），即.故选C. 7.答案：B 解析：方法一：如图，设直线PC在平面PAB的射影为PD， 作于点G，于点H，连接HG，易得，又，平面CHG，则平面CHG，又平面CHG，则，则有 故.已知，易得，故，又即为直线PC与平面PAB所成的角，故所求角的余弦值为.故选B. 方法二：如图所示，把PA，PB，PC放在正方体中，PA，PB，PC的夹角均为. 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则，，，， 所以，，， 设平面PAB的法向量为，则 令，则，，所以， 所以. 设直线PC与平面PAB所成角为，则，所以.故选B. 8.答案：C 解析：设，则，.因为E为的中点，所以，所以，.设是平面的一个法向量， 则即取，则，所以平面的一个法向量为.又因为平面，所以是平面的一个法向量，所以.又因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为，故选C. 9.答案：ACD 解析：建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1. 则,,,,,,, , ... ...