专题突破八：反比例函数综合之存在性问题（20道）（压轴题专练）2024-2025九年级下册数学同步讲练【人教版】（原卷+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题突破八：反比例函数综合之存在性问题（20道） 【人教版】 本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和 (1)分别求出反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在x轴上是否存在点P使为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理和等腰三角形的定义： （1）先把点A左边代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式求出对应的一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （3）设，则，，再分当时，当时，当时，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为 把代入中得；， ∴， 把，代入中得：， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或； （3）解：设， ∵，， ∴，， 当时，则，解得， ∴此时点P的坐标为或； 当时，则，解得或（舍去）， ∴此时点P的坐标为； 当时，则，解得， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)若点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数解析式为 (2)不等式的解集为或 (3)满足条件的点的坐标为或或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得解； （2）由函数图象即可得解； （3）先求出点的坐标，设点，再根据平行四边形的性质，分三种情况，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； 将代入反比例函数解析式可得， ∴， 将，代入反比例函数解析式可得， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：由图象可得：不等式的解集为或； （3）解：∵点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴， 设点， ∵以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴当为对角线时，与互相平分， ∴， ∴， ∴； 当为对角线时，与互相平分， ∴， 解得：， ∴； 当为对角线时，与互相平分， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出时，的取值范围； (3)在轴上存在一点使得有最大值，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）关键还是图象与交点横坐标直接写出不等式解集即可； （3）过点作关于轴的对称点，则连接交轴于点，此时满足有最大值，先求出解析式，再求出点坐标即可． 【详解】（1）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和， ， ，， 反比例函数解析式为， ，， ，解得， 一次函数解析式为； （2）由图象可知，时，的取 ... ...