4.3解直角三角形 同步练习（学生版+教师版）2024-2025学年数学湘教版九年级上册

二十九　解直角三角形 知识点1　解直角三角形 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos ∠B＝，则AC的长为( ) A．15 B．9 C．8 D．6 2．在Rt△ABC中，有下列情况，则直角三角形可解的是( ) A．已知BC＝6，∠C＝90° B．已知∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝5 C．已知∠C＝90°，∠A＝∠B D．已知∠C＝∠B＝45° 3.如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8.连接AC，AC⊥CD，若sin ∠ACB＝，则AD的长度是__ __． 4.如图是教学用的直角三角板，边AC＝30 cm，∠C＝90°，tan ∠BAC＝，则边BC的长为__ _. 5．(2024·常德质检)如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，sin A＝，D为边AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6，求AB和AC的值． 知识点2　构造直角三角形解决问题 6．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝2，∠B＝30°，S△ABC＝10，则tan C的值为( ) A． B． C． D． 7．如图，延长Rt△ABC的斜边AB到点D，使BD＝AB，连接CD，若tan ∠BCD＝，则tan A的值是( ) A．1 B． C．9 D． 8．如图，CD是△ABC的高，若AB＝10，CD＝6，tan ∠CAD＝，则BD＝__ __． 9．(2024·张家界期末)如图，△ABC中，tan B＝，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD∶CD＝2∶1，求△ABC的面积． 10．如图，在△ABC中，AB＝10，cos ∠ABC＝，D为BC边上一点，且AD＝AC，若DC＝4，则BD的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝( ) A． B． C．2 D．3 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，AB＝c，∠A＝α，则CD的长为( ) A．c·sin2α B．c·cos2α C．c·sinα·tan α D．c·sin α·cos α 13.如图，直线AB经过点P(1，2)，且与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.若sin ∠BAO＝，则点B的坐标为__ __. 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin A＝，若E为边BC的中点，则点E到Rt△ABC的中线CD的距离为____． 15.(2024·岳阳质检)如图在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos ∠BDC＝，求BC的长． 【加固训练】 　 　1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DC＝，AC＝3. (1)求∠B的度数； (2)求AB及BC的长． 2.已知，如图∠A＝37°，∠C＝90°，∠ADB＝135°，AB＝5，求△ABC的周长及AD的长．(精确到0.1) (参考数据：sin 37°≈0.602，cos 37°≈0.799，tan 37°≈0.75) (选做) 16．已知锐角△ABC，点D在BC的延长线上，连接AD，若∠DAB＝90°，∠ACB＝2∠D，AD＝2，AC＝，根据题意画出示意图，并求tan D的值．二十九　解直角三角形 知识点1　解直角三角形 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos ∠B＝，则AC的长为(D) A．15 B．9 C．8 D．6 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos ∠B＝＝，∴BC＝×10＝8， ∴AC＝＝＝6. 2．在Rt△ABC中，有下列情况，则直角三角形可解的是(B) A．已知BC＝6，∠C＝90° B．已知∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝5 C．已知∠C＝90°，∠A＝∠B D．已知∠C＝∠B＝45° 【解析】∵选项C，D缺少边的条件，A缺少锐角的条件， ∴不能解直角三角形， 选项B中，由∠A的正弦可求出AB，再根据直角三角形的性质可求出∠B，然后由勾股定理或∠A的正切函数可求出AC. 3.如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8.连接AC，AC⊥CD，若sin ∠ACB＝，则AD的长度是__10__． 【解析】在Rt△ABC中， ∵AB＝2，sin ∠ACB＝＝， ∴AC＝2÷＝6.在Rt△ADC中，AD＝＝＝10. 4.如图是教学用的直角三角板，边AC＝30 cm，∠C＝90°，tan ∠BAC＝，则边BC的长为___. 【解析】∵∠C＝90°，tan ∠BAC＝＝，AC＝30 cm，∴＝，解得BC＝. 5．(2024·常德质检)如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，sin ... ...