3.4.1相似三角形的判定 同步练习（学生版+教师版）2024-2025学年数学湘教版九年级上册

十八　相似三角形的判定(第1课时) 知识点1　利用平行线判定三角形相似 1．如图，△ABC中，DE∥AB，DE与AC，BC的交点分别为D，E，若＝，则等于(B) A． B． C． D． 【解析】∵DE∥AB，＝， ∴△CDE∽△CAB，∴＝＝. 2．(2023·哈尔滨中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为(B) A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】∵DE∥BC， ∴＝， ∵AD＝2，BD＝3，AC＝10，∴＝， ∴AE＝4. 3．如图，A，B，C，D把OE五等分，且AA′∥BB′∥CC′∥DD′∥EE′，若EE′＝20 cm，那么B′B＝__8__cm__；DD′＝__16__cm__． 【解析】∵A，B，C，D把OE五等分，且AA′∥BB′∥CC′∥DD′∥EE′， ∴OA′＝A′B′＝B′C′＝C′D′＝D′E′， ＝，＝，又EE′＝20 cm， ∴B′B＝20×＝8(cm). DD′＝20×＝16(cm). 知识点2　相似三角形判定定理1 4．如图， ABCD中，∠DEF＝∠A，DE∶EA＝2∶3，EF＝6，则CD的长为(A) A．15 B．10 C．8 D．16 【解析】∵∠DEF＝∠A，∠EDF＝∠ADB， ∴△DEF∽△DAB， ∴EF∶AB＝DE∶DA＝2∶5， ∴6∶AB＝2∶5，∴AB＝15， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝15. 5．如图，若∠BAD＝∠CAE，∠E＝∠C，则__△ABC__∽__△ADE__． 【解析】∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE. 又∵∠E＝∠C，∴△ABC∽△ADE. 6．(2024·岳阳质检)如图，∠ADE＝∠B，若AE＝1，AC＝DE＝2，则BC的长为__4__． 【解析】∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝，∴＝， ∴BC＝4. 7．如图，在△ABC中，四边形DBFE是平行四边形．求证：△ADE∽△EFC. 【证明】∵四边形DBFE是平行四边形， ∴DE∥BC，EF∥AB， ∴∠CEF＝∠A，∠AED＝∠C， ∴△ADE∽△EFC. 8．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上一点，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C. 求证：△ABF∽△EAD. 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAF＝∠AED，且∠C＋∠D＝180°， 又∵∠BFE＋∠BFA＝180°，∠BFE＝∠C， ∴∠BFA＝∠D， ∴△ABF∽△EAD. 9．(2023·湘西州中考)如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是(C) A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3 【解析】∵EB＝1.6，BC＝12.4， ∴EC＝EB＋BC＝14， ∵AB⊥EC，∴∠ABE＝90°， ∵∠C＝90°，∴∠ABE＝∠C， 又∵∠E＝∠E， ∴△ABE∽△DCE，∴＝， 即＝， 解得：CD＝10.5. 10．如图，在△ABC中，AB＝15 cm，AC＝12 cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE等于(C) A．32 cm B．24 cm　　 C．48 cm　　 D．64 cm 【解析】如图： ∵AD是∠BAC的外角平分线， ∴∠EAD＝∠MAD， ∵DE∥AB， ∴∠EDA＝∠MAD，∠BAC＝∠CED， ∴∠EAD＝∠EDA，∴ED＝EA， ∵在△ABC与△CED中， ∠BAC＝∠CED，∠BCA＝∠ECD， ∴△ABC∽△EDC， ∴＝， ∵AB＝15 cm，AC＝12 cm， 设ED＝15k，∴CE＝12k， ∴ED＝15k＝EA＝EC＋CA＝12k＋12， ∴3k＝12，∴k＝4， ∴CE＝12k＝48(cm). 11．如图，已知菱形ABCD的边长为3，延长AB到点E，使BE＝2AB，连接EC并延长交AD的延长线于点F，则DF的长为__1.5__． 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴DC∥AE，∴△DFC∽△AFE， ∴＝， ∵BE＝2AB，AB＝3，∴BE＝6，AE＝9， ∴＝， ∴DF＝1.5. 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N.若AC＝2，则MN的长为____． 【解析】∵∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB， ∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD， ∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN， ∴△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB， ∴＝＝，＝， ∴＝， ∴＝，∴MN＝. 13．(2023·南京中考)如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E为BC ... ...