第二十二章 二次函数综合题 专项练 2024--2025学年上学期初中数学人教版九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台 第二十二章 二次函数综合题 专项练 2024--2025学年上学期初中数学人教版九年级上册 一、解答题 1．如图，已知二次函数的图象经过点、和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)当点P在直线的上方时， ①当的长最大时，求点P的坐标； ②当时，求点P的坐标． 2．已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过两点，且与轴的负半轴交于点，动点在直线下方的二次函数图象上． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，设的面积为，求的最大值． 4．如图所示，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线的解析式与直线l的解析式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值． 5．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点． (1)求抛物线的对称轴及k值； (2)求点A和点B的坐标； (3)抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标． 6．顶点为且过原点的抛物线，如图所示． (1)求其解析式． (2)动矩形的顶点B、C在抛物线上，A、D在x轴上，设，矩形的周长为l，求l随t变化的函数关系式．若l有最值，求之，否则说明理由． 7．如图，若b是正数，直线与y轴交于点A；直线与y轴交于点B；抛物线的顶点为C，且L与x轴右交点为D． (1)若，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标； (2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值； (3)设，点分别在l，a和L上，且是的平均数，求点与点D间的距离； (4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出和时“美点”的个数． 8．如图①，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展设问：点为平面内一点，直线上方的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H． (1)求点A、P的坐标； (2)连接，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 10．二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 参考答案： 1．(1) (2) （1）解：设二次函数的解析式为， 二次函数的图象经过点、和原点O． ，解得， 二次函数的解析式为； （2）解：①设直线的解析式为， ， ，解得， 直线的解析式为， 过点P作x轴的垂线，垂足为， 点P的坐标为，点C的坐标为， ， 当时，的长最大，即有， ； ②当时， 即， ， ， 解得（舍去）或， ． 2．(1) (2) (3) （1）解：∵点B的坐标为，， ∴，， 即点，代入得， 解得， 则抛物线的解析式； （2）解：由抛物 ... ...