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课件网) 数 学 第四章 三角形 模型突破———三角形中的辅助线 类型一 遇角平线如何添加辅助线 模型一 运用角平分线性质定理作垂线 条件 如图，点P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM，PB⊥ON分别交OM，ON于点A，B 图示 结论 ①PA＝PB；②OA＝OB； ③△APO≌△BPO 例1 如图，点P是∠AOC的平分线上一点，PD⊥OA，垂足为D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为____． 3 模型二 延长垂线构造等腰三角形 条件 如图，点P是∠MON的平分线上一点，点A是OM上一点，AP⊥OP于点P，延长AP交ON于点B 图示 结论 ①PA＝PB；②△AOB为等腰三角形； ③Rt△APO≌Rt△BPO 例2 (2024广西模拟)如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD.若BD＝1，BC＝3，则AC的长为____． 5 模型三 作平行线构造等腰三角形 条件 如图，点P是∠MON的平分线上一点，过点P作PQ∥ON交OM于点Q 图示 结论 ①△OQP为等腰三角形； ②PQ＝OQ 例3 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为____． 6 模型四 构造对称图形 条件 如图，点P是∠MON的平分线上一点，点A是OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA，连接PB 图示 结论 ①PA＝PB；②△APO≌△BPO 例4 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，连接DE，已知∠A＝70°，则∠CED的度数为_____. 110° 类型二 遇中点如何添加辅助线 模型一 构造中位线 情形一 当图形中出现两个及两个以上的中点时，考虑连接两个中点构造中位线 情形二 当图形中出现一个中点时，考虑过该中点作平行线或再取一边中点构造中位线 例5 (2024贵港模拟)如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E，F分别是AC，AD的中点，连接EF.已知BC＝12，则EF的长为( ) A.3 B．4 C．5 D．6 A 例6 如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点，AE⊥BE，AB＝5，AC＝3，则DE的长为____． 1 模型二 构造中线 情形一 遇到等腰三角形底边中点时，考虑作底边上的中线，利用“三线合一”解决问题 图示 情形二 遇到直角三角形斜边上中点时，考虑作斜边上的中线 图示 例7 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，作DE⊥AC于点E，F是AB的中点，连接EF交AD于点P.若AB＝4，AE＝3，则AP的长为_____. 模型三 构造中垂线 条件 如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，且ED⊥BC，连接CE 图示 模型四 构造倍长中线或倍长类中线 情形一 如图，AD是BC边的中线，延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE，则△ACD≌△EBD 图示 情形二 如图，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点，延长ED至点F，使DF＝ED，连接CF，则△BDE≌△CDF 图示 例9 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，AD是BC边上的中线，则AD长的取值范围是( ) A.6
