2024-2025学年人教版数学九年级上册同步能力提升讲义：21.2 解一元二次方程（原卷+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 21.2 解一元二次方程 内容索引·常考题型 内容 常考题型 重点01 直接开平方法 选择题、填空题 重点02 配方法 选择题、填空题、解答题 重点03 公式法 选择题、填空题、解答题 重点04 因式分解法 选择题、填空题、解答题 重点05 根的判别式 选择题、填空题 难点 用合适的方法解一元二次方程 填空题、解答题 易错点 根与系数的关系 选择题、填空题 ■重点01 直接开平方法 直接开平方法：根据平方根的意义将一元二次方程“降次”为一元一次方程进行求解． 解形如的方程： 当时，方程有两个相等的实数根，即； 当时，方程有两个不相等的实数根，即； 当时，方程没有实数根． 【典例1】　（2021秋 海陵区期末）方程的解是　　 A．， B． C．， D．， 【答案】 【分析】直接开平方法求解可得． 【解答】解：， 或， 故选：． 【典例2】　（2024春 孝义市期末）若，则　　． 【分析】把看作整体直接开方后再计算即可求解． 【解答】解： 或 或． 【典例3】　（2024春 淮北月考）方程的解是 　　． 【答案】，． 【分析】先移项，然后直接开平方法解一元二次方程即可求解． 【解答】解：， ， ， 解得：，， 故答案为：，． 1．等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数． 2．降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程． 3．方法是根据平方根的意义开平方． 4．形如的一元二次方程若有解，则两个解互为相反数． 5．直接开平方法：形如的方程，可直接开平方求解． 记忆口诀：左平方，右非负，系数化为1，开平方取正负． ■重点02 配方法 1．概念：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2．用配方法解一元二次方程“ax2＋bx+c=0（a≠0）”的一般步骤是： （1）将方程化为一般形式ax2＋bx+c=0； （2）移项，将常数项移到方程的右边ax2＋bx=﹣c； （3）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数a； （4）配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n≤0，则原方程无解． 3．一般地，如果将一个一元二次方程通过配方转化成的形式，那么就有： （1）当时，方程有两个不相等的实数根：，． （2）当时，方程有两个相等的实数根：． （3）当时，方程没有实数根． 【典例1】　（2023秋 克州期末）用配方法解方程，变形正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【解答】解：， ， ， 故选：． 【典例2】　（2024 兰陵县三模）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则的值为 　　． 【答案】48． 【分析】利用完全平方公式进行计算可得：，从而可得，进而可得，，然后求出的值，从而代入式子中进行计算即可解答． 【解答】解：， ， ， ， ，， 解得：， ， 故答案为：48． 【典例3】　（2023秋 未央区期末）用配方法解方程：． 【分析】先移项，再配方，最后开方，即可求出答案． 【解答】解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，． 1．先看一元二次方程，是否适合用配方法． 2．注意符号． 一次项系数决定了完全平方式是两数差的平方还是两数和的平方． + + ■重点03 公式法 1．解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式（）．当时，方程（）的实数根可以写成的形式．这个式子叫做一元二次方程（）的求根公式． 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 2．解题步骤： （1）化：把一元二次方程化为一般形式． （2）定：确定a，b，c的值． （3）算：计算判别式的值． （4）求：在的前提下，将a，b，c的值代入求根公式求解． （若，则方程无实数根） 【典例1】　（2024 武都区校级二 ... ...