《4.2.1指数函数的概念》教案

第四章 指数函数与对数函数 4.2.1指数函数的概念 1.通过具体的实例，经历数学建模过程，了解指数增长模型和指数衰减模型，体会指数函数的变化规律，培养数学建模的核心素养； 2.通过指数增长模型和指数衰减模型，经历指数函数概念的归纳，并了解指数函数的实际意义，提升抽象概括能力和数学抽象的核心素养； 3.理解指数函数的概念和底数的取值范围，并能应用指数函数的概念解决具体的问题. 重点：了解指数函数的实际意义，理解和掌握指数函数的概念，并能运用指数函数的概念解决具体问题． 难点：指数函数模型的应用． （一）创设情景 一尺之锤，日取其半.意思是：一尺长的木棍，第一天截取一半，第二天起，每天截取剩下的一半.那么，每天截取的木棍长度是多少？每天截取的木棍长度有什么规律？ 某种细胞分裂时,第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，如此下去，如果第次分裂得到个细胞，那么某细胞个数与次数的函数关系是什么？ 设计意图：举生活中的实际例子，让学生感受指数变化，培养学生的学习兴趣. （二）探究新知 任务1：探究什么指数函数增长模型和指数衰减模型. 问题随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.如下表给出了A，B两地景区年至年的游客人次以及逐年增加量． 时间年 A地景区 B地景区 人次万次 年增加量万次 人次万次 年增加量万次 思考：比较A，B两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？如果想继续研究16年，17年乃至后面的游客人次，可以采用什么方式进行研究呢？ 合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报. 解：A，B两地的游客人次均在增长，但A地增长速度慢一下，而B地则更快. 可以才采用作图的方式继续研究16年，17年乃至后面的游客人次. 根据上表，分别画出A，B两地景区采取不同措施后的年游客人次的图象图和图． 思考：观察图象，A，B两地景区的游客人次呈现什么变化？ 合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报. 解：观察图象，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升，呈线性增长，年增加量大致相等，约为万次；B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大．且从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到 值不变，所以，B地景区的游客人次的年增长率都约为，是一个常数. 结论：像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长.因此，B地景区的游客人次近似于指数增长. 问题 当生物死亡后，它机体内原有的碳含量会按确定的比率衰减称为衰减率，大约每经过年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期” 思考：按照上述变化规律，生物体内碳含量呈什么形式衰减？ 合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报 解：设死亡生物体内碳含量的年衰减率为，如果把刚死亡的生物体内碳含量看成个单位，那么 死亡年后，生物体内碳含量为； 死亡年后，生物体内碳含量为； 死亡年后，生物体内碳含量为； 死亡年后，生物体内碳含量为． 根据已知条件，，从而，所以． 所以，死亡生物体内碳含量每年都以的衰减率衰减. 结论：像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称之为指数衰减.因此，死亡生物体内碳含量呈指数衰减. 设计意图：通过生活中的具体实例，让学生领会指数增长和指数衰减模型，培养学生的学习兴趣. 任务2：探究指数函数的概念. 探究：(1)问题1中，年后游客人次与2001年的游客人次之间有怎样的关系？ 解：从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为： 1年后，游客人次是2001年的倍； 2年后，游客人次是2001年的倍； 3年后，游客人次是2001年的倍； 年后，游客人次 ... ...