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课件网) 第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径 如图,半径有:_____. O B C A OA、OB、OC 若∠AOB=90°， 则△AOB是 三角形. 弦有:_____. AB、BC、 AC 等腰直角 ● O B C A 如图,弧有:_____ ⌒ AB ⌒ BC 劣弧有： 优弧有： 判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆.( ) ● ⌒ BAC ⌒ ACB 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点） 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 你是怎么得出结论的？ 圆的对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 用折叠的方法 ●O 【问题】如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧 为什么 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC, AD与BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B D E C 垂径定理 · O A B C D E 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 推导格式： 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 【归纳总结】 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 【思考探索】 D O A B E C 举例证明其中一种组合方法 已知: 求证： ① CD是直径 ② CD⊥AB，垂足为E ③ AE=BE ④ AC=BC ⑤ AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2） ⌒ AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？ ⌒ （2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （1）连接AO,BO,则AO=BO, 又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. ⌒ ⌒ 【证明举例】 · O A B C D E 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 垂径定理的推论 · O A B C D 特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. 【例1】如图，已知在圆O中，弦AB的 长为8㎝，圆心O到AB的距离为3㎝， 求圆O的半径. E O A B 【解析】根据题意,得AE=4cm ，OE⊥AB，OE=3cm. 在Rt△OEA中，根据勾股定理,得AO2=OE2+AE2=32+42=25，AO=5cm. 【例题】 变式1：AC，BD有什么关系？ 变式2：AC＝BD依然成立吗？ 变式3：EA＝____, EC=_____. FD FB 变式4：_____，AC=BD. OA=OB 变式5：_____，AC=BD. OC=OD 【试一试】 【归纳】 作垂直于弦的线段，构造由半径、弦的一半、弦心距为三边的直角三角形，然后用勾股定理解决问题. E O A B 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm. · O A B E 解析：连接OA， ∵ OE⊥AB， ∴ AB=16cm. 16 cm 【跟踪训练】 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的 ... ...
