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课件网) 第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角 问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？ 顶点在圆心的角叫圆心角, ∠BOC. 问题2 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点 A ∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点. 1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的定理的内容及简单应用. 2.掌握圆周角的定理的推论及简单应用. 3.了解圆内接多边形的有关概念. 4.掌握圆内接四边形的性质并灵活应用. . O B C A 圆周角特征： ① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交. 圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. · C O A B · C O B A · C O B · C O B A A 判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. （2） （1） （3） （5） （6） 顶点不在圆上 顶点不在圆上 边AC没有和圆相交 √ √ √ O · C A B B C A · O （4） ● O A B C ● O A B C ●O A B C 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系 有没有圆周角？ 有没有圆心角？ 它们有什么共同的特点？ 它们都对着同一条弧 ⌒ ⌒ (1)当圆心在圆周角的一边上时 结论：同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. C O B A 如图,观察圆周角∠BAC与圆心角∠BOC, 它们的大小有什么关系 结论:同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. (2)当圆心在圆周角外部时能否转化为(1)的情况 提示:过点B作直径BD.由(1)可得: ∴ ∠ABC = ∠AOC ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD ● O D A B C (3)当圆心在圆周角内部时能否转化为(1)的情况 提示:过点B作直径BD.由(1)可得: ∴ ∠ABC = ∠AOC. ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD ●O A B C D 结论:同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 【归纳】 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 也可以理解为：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. 问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ,D 是⊙O上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由. D 相等 D A B O C E F 问题2 如图,若 ∠A与∠B相等吗？ 相等 想一想：(1)反过来，若∠A=∠B，那么 成立吗？ (2)若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？ 【推论1】 同弧或等弧所对的圆周角相等. A1 A2 A3 O A B C 2.90°的圆周角所对的弦是否是直径？ 【推论2】 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 【探究】 1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？ 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC,AD,BD的长． 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2 ∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90° 在Rt△ABC中， ∵CD平分∠ACB， ∴AD=BD. 【解析】 【例题】 1.（2021 河南模拟）已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径， ∠AOB=100°，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（ ） A.45° B.35° C.60° D.50° D 【跟踪训练】 ∵OA，OB是⊙O的两条半径∠AOB=100°， 由圆周角定理得，∠ACB= ∠AOB=50°． 【解析】 2.（2021 永吉县模拟）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BC=5，∠A=30°，则AC的长为（ ） A.10 B.8 C. D. ∵AB是⊙ O的直径，∴∠ACB=90° ∵∠A=30°，∴BC= AB ∵ BC=5 ，∴ AB=10 由勾股定理得： 【解析】 D C O D B A 定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆. 如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，圆O是四边形ABCD的外接圆. C O D B A 【探究】如图,圆内接四边形ABCD中， ∵ ∠A的度数等于弧BCD的一半，∠BCD的度数等于弧BAD的一半， 又∵弧BCD与弧BAD的度数和为360° ∴∠A＋∠C＝ 180°. 同理∠B＋∠D＝180 ... ...
