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课件网) 问题引入： 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置 A B 第一章 三角形的证明 1.3.1 线段的垂直平分线 八年级下数学 学习目标 1.理解垂直平分线的性质定理与判定定理。 2.会证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理. 3.会用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题。 1.什么是线段的垂直平分线？ 知识回顾 新知探究一 2.线段的垂直平分线有何性质？ 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 你能证明吗？ 已知：如图，MN⊥AB，垂足为C，且AC=BC，P为MN上的任意一点。 求证：PA=PB C A B ∟ P 线段垂直平分线上的 到 的距离相等. 点 这条线段两个端点 M N 证明：∵ MN⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB=90 ． 又 ∵ AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB 定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 如图, ∵点P在线段AB的垂直平分线上 ∴PA=PB 文字语言 符号语言 线段垂直平分线的性质定理 图形语言 P A B ∟ C 例1.已知:如图，AB是线段CD的垂直平分线，E,F是AB上的两点. 求证：∠ECF=∠EDF 学以致用 方法一: 证明：∵AB是线段CD的垂直平分线， ∴CE=DE，CF=DF， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， 即∠1+∠3=∠2+∠4， ∴∠ECF=∠EDF． 例1.已知:如图，AB是线段CD的垂直平分线，E,F是AB上的两点. 求证：∠ECF=∠EDF 学以致用 方法二： 证明：∵AB是线段CD的垂直平分线， ∴CE=DE，CF=DF， 又∵EF=EF ∴△ECF≌△EDF(SSS) ∴∠ECF=∠EDF． 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 逆 命 题 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 思考：它是真命题吗？你能证明吗？ 新知探究二 证明：到一条线段两个端点距离相等 的点,在这条线段的垂直平分线上. 证明：过P作PC ⊥ AB垂足为C， ∵ PA=PB， ∴△PAB是等腰三角形 ∵ PC ⊥ AB ∴AC=BC（等腰三角形三线合一） ∴PC为AB的垂直平分线 即点P在线段AB的垂直平分线上 己知：如图，PA=PB 求证：点P在线段AB的垂直平分线上 A B C ∟ P 还有其他方法吗？ 定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 如图, ∵ PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上 文字语言 符号语言 P A B ∟ 线段垂直平分线的判定定理 C 图形语言 已知：如图△ABC中，AB=AC，P是△ABC内一点，且PB=PC. 求证：直线AP垂直平分线段BC. 证明：∵AB=AC， ∴A在线段BC的垂直平分线（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点P在线段BC的垂直平分线. ∴直线AP是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）. 你还有其他证明方法吗？ 利用三角形的全等证明 学以致用 例2 线段垂直平分线 判定定理： 到一条线段两个端点距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上。 性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个 端点的距离相等. 说一说线段垂直平分线的性质定理和判定定理的区别与联系。 当堂检测 2、在△ABC中,PM,QN分别垂直平分AB,AC， 若BC=10cm，则△APQ的周长=___cm 若∠BAC=100°则∠PAQ=____ 10 200 1.如图1，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若AB=10cm，则BD = cm；若PA=10cm，则PB = _____cm. 5 10 3、已知MN是线段AB的垂直平分线,C,D是MN上的两点, ∠CAB=60°,∠DAB=20°,则∠CAD的度数为 40°或80° 4. 如图，DE,DF分别是 △ABD和△ACD的高,且DE=DF. 求证：AD垂直平分EF O F E D C B A 本课小结 通过本节课的学习你有什么收获？ 还有什么疑惑吗 能力 ... ...
