人教B版（2019）选择性必修 第三册第五章 5.3.2 等比数列的前 n项和（课件+学案+练习，6份打包）

5.3.2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和 ［学习目标］　1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.3.掌握等比数列前n项和的函数特征. 一、等比数列前n项和公式的推导 问题1　若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ 知识梳理　 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则Sn=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 . ① 因为an=a1qn-1，所以q≠1时，等比数列前n项和的公式也可改写为Sn=　　　　　　　　　　　　　　. ② 例1　求下列等比数列前8项的和： (1)，，，…； (2)a1=27，a9=，q<0. 反思感悟　求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q=1是否成立. 跟踪训练1　在等比数列{an}中， (1)a1=2，q=-，求S10； (2)q=，S100=150，求a2+a4+a6+…+a100的值. 二、等比数列中与前n项和有关的基本运算 例2　在等比数列{an}中. (1)S2=30，S3=155，求Sn； (2)a1+a3=10，a4+a6=，求S5； (3)a1+an=66，a2an-1=128，Sn=126，求公比q. 跟踪训练2　在等比数列{an}中. (1)若a1=，an=16，Sn=11，求n和q； (2)已知S4=1，S8=17，求an. 三、利用等比数列前n项和公式判断等比数列 问题2　你能发现等比数列前n项和公式Sn=(q≠1)的函数特征吗？ 知识梳理 1.当公比q≠1时，设A=，等比数列的前n项和公式Sn=　　　　.即Sn是n的指数型函数. 2.当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn=　　　　，Sn是n的正比例函数. 例3　数列{an}的前n项和Sn=3n-2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列. 延伸探究　 1.若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn=3n+1-2k，则实数k=　　　　. 2.若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn=a·+5，则实数a=　　　　. 反思感悟　(1)已知Sn，通过an= 求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an=Sn-. (2)若数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列. 1.知识清单： (1)等比数列前n项和公式的推导. (2)等比数列前n项和公式的基本运算. (3)利用等比数列前n项和公式判断等比数列. 2.方法归纳：公式法、错位相减法. 3.常见误区：等比数列前n项和公式中项数的判断易出错. 1.在数列{an}中，已知an+1=2an，且a1=1，则数列{an}的前5项的和等于(　　) A.-25 B.25 C.-31 D.31 2.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(　　) A. B. C. D. 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=p·3n-2，则p等于(　　) A.-3 B.3 C.-2 D.2 4.已知在等比数列{an}中，a3=，S3=，则a1=　　　　. 答案精析 问题1　思路一：因为Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an， 所以Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn-qSn=a1-a1qn， 即(1-q)Sn=a1(1-qn)，当q≠1时，有Sn=，而当q=1时，Sn=na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”. 思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得：==…==q， 根据等比数列的性质，有 ==q， =q (1-q)Sn=a1-anq， 所以当q≠1时，Sn=，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用 an=a1qn-1相互转化. 思路三：Sn=a1+a2+a3+…+an =a1+q(a1+a2+…+an-1)， 所以有Sn=a1+qSn-1 Sn =a1+q(Sn-an) (1-q)Sn =a1-anq， 所以当q≠1时， Sn=或Sn=， 显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，就能使问题得到解决. 知识梳理　 　 例1　解　(1) ... ...