2024 学年第一学期八年级上数学学科竞赛试卷 一. 选择题 (每小题 5 分, 共 30 分) 1. 直角三角形的三边为 且 都为正整数,则三角形其中一边长可能为 ( ). A. 61 B. 71 C. 81 D. 91 2. 如图,在 的正方形网格中,已有线段 ,在格点中再取一点 ,使 成为等腰三角形,这样的点 有( ). A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 第 2 题图 第 3 题图 第 5 题图 3. 如图,在 中,根据尺规作图痕迹,下列说法不一定正确的是( ). A. B. C. D. 4. 已知关于 的不等式组 有且只有 4 个整数解,那么 的取值范围是( ). A. B. C. D. 5. 如图,在第 1 个 中, ,在边 上任取一点 ,延长 到 , 使 ,得到第 2 个 ; 在边 上任取一点 ,延长 到 ,使 ,得到第 3 个 ,……,按此做法继续下去,则第 个三角形中以 为顶点的内角度数是 ( ). A. B. C. D. 6. 交管部门常用测速仪来检测车速。测速原理是测速仪前后两次发出并接收到被测车反射回的超声信号, 再根据两次信号的时间差, 测出车速, 如图甲所示。某次测速中, 测速仪发出与接收超声的情况如图乙所示, 表示超声与测速仪之间的距离。假设超声的速度为 ,且声速与车速均保持不变,汽车的速度约为( ) (结果保留整数)。 乙 A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 二. 填空题 (每小题 5 分, 共 40 分) 7. 代数式 的最小值为_____. 8. 满足不等式 的 的取值范围是_____. 9. 如图, 中, , , ,则 _____度. 第 9 题图 第 11 题图 第 12 题图 第 14 题图 10. 已知点 ,直线 与线段 相交,则 的取值范围是_____. 11. 如图,在 中,高 和 交于点 ,且 ,则 _____. 12. 如图,六边形 中, ,且 ,则 _____. 13. 不等式组 ,即 有解. 则自然数 的最大值为_____. 14. 如图, 中, . 分别以 为边在 的同侧作正方形 ,四块阴影部分的面积分别为 ,则 等于_____. 三. 解答题 (第 15 题 12 分, 第 16 题 18 分, 共 30 分) 15. 在车站开始检票时,有 名旅客在候车室排队等候检票进站,检票开始后,仍有旅客陆续前来排队检票进站。设旅客按固定的速度增加, 检票口检票速度也是固定的, 若开放一个检票口, 则需 30 分钟才可以将排队等候检查的旅客全部检票完毕; 若同时开放两个检票口, 则只需 10 分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕。如果要在 5 分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕, 以使后来到站的旅客能随叫随到, 至少要同时开放几个检票口 16. 已知: 中, ,点 为 上一点,连接 并延长至点 ,连接 、 , 使 . 图1 图2 图3 (1)如图 1,当 时,求证: ; (2)如图 2,当 时,(1)中结论是否成立？若成立,请给予证明；若不成立,请直接写出结论:_____； (3)如图 3,在(2)的条件下,在 上截取 ,连接 ,点 在 上,连接 , 且 ,求 的长. 2024 学年第一学期八年级上数学思维拓展答案 一. 选择题 (共 6 题) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D A D C D 二. 填空题 (共 8 题) 7._____ 或 11. 45° 12. 14 13. 4 14. 12 三. 解答题 (共 2 题) 15. 设每分钟前来排队检票 人,每个检票口每分钟检票 人,要在 5 分钟内检票完毕,需同时开放 个检票口。 口。 16. (1) 证明: 在 上截取 ,连接 ,如图 1 所示: , , 图1 , , , , 为等边三角形, , , 即 ; (2)解:(1)中结论不成立； ,理由如下: 在 上截取 ,连接 ,如图 2 所示: 图2 , , , , , 为等腰直角三角形, , , (3) 解: 连接 ,过点 作 于点 ,如图 3 所示: , , , , 为等腰直角三角形, 图3 , , , , , 即 , , , , , , , 为等腰直角三角形, , , , , , , 解得: 或 (舍去), 的长为 . ... ...
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