专题3.5 实数中的十大压轴问题（原卷版+解析版）2025-2026学年七年级上册数学同步课堂 专项培优精练（浙教版（2024））

中小学教育资源及组卷应用平台 专题3.5 实数中的十大压轴问题 1. 思维提升 ：培养分类讨论、数形结合及逻辑推理能力； 2. 拓展应用 ：将实数问题与代数、几何知识融合解决复杂情境。 实数作为数学基础概念，其压轴题常出现在初中阶段的综合性难题中，主要考察学生对数系性质、运算规则及实际应用的综合掌握能力。 TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2 模块2：核心考点 2 TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.算术平方根的双重非负性 2 考点2.平方根的新定义问题 3 考点3.立方根的新定义问题 5 考点4.估算类的新材料（新方法）问题 8 考点5.平方根与立方根的性质综合问题 11 考点6.大数的立方根求法 13 考点7.平方根与立方根的小数点移动规律问题 16 考点8.根式的规律探究 17 考点9.实数的相关运算综合 19 考点10.实数的实际应用 21 模块3：培优训练 24 1）算术平方根的双重非负性是指：≥0且≥0。 2）算术平方根的性质： 3）立方根的性质： ； ； 。 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题；立方根符号与原数符号相同，简化正负数运算逻辑。 4）估算无理数的方法：（1）通过平方运算，采用“ 两边逼近法 ”，确定真正值所在范围； （2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。（3）也可使用几何图形或新定义的方法估算。 5）平方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位。如：，，，. 6）立方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动 3 位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位。例如，，，，. 考点1.算术平方根的双重非负性 例1．（2025·湖北·模拟预测）已知、均为实数且与互为相反数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与互为相反数，∴ ∴，，解得：，．∴．故选：B． 例2．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）已知：，求的值. 【答案】 【详解】解：实数满足，，，， 原式化为，整理得：，两边同时平方得：， 则． 变式1．（24-25八年级下·广西防城港·期中）已知，则值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴且，得， ∴，∴，∴，故选：C． 变式2．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期中）当 时，代数式有最小值，为 ． 【答案】 2 5 【详解】解：要使代数式有最小值，则取为最小值即可， ∵，∴当时，存在最小值，即， 把代入代数式，则最小值为．故答案为：；． 变式3．（24-25七年级下·北京朝阳·阶段练习）代数式的最大值为 ，此时a与b的关系是 ； 【答案】 互为相反数 【详解】解：，∴代数式的最大值为， 此时，即a与b的关系是互为相反数，故答案为：，互为相反数． 考点2.平方根的新定义问题 例1.（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． 【阅读理解】仿照以上方法计算：_____，_____； 【解决问题】若，写出满足题意的的整数值_____； 【扩展探究】①如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1； ②试求出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数． 【答案】【阅读理解】：4，6；【解决问题】：1或2或3；【扩展探究】①3次；②255 【详解】解：∵，，， ，即，，， 故答案为：4，6； 【解决问题】解：，， ，，∴，或或，故答案为：1或2或3； 【扩展探究】解：①第一次：，第二次：，第三次：， 第3次之后结果为1，故答案为：3次； ②由上述求解过程可知，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ，，进行2次求根整数运算 ... ...