《4.4数学归纳法》教案（2课时打包）

第四章 数列 4.4数学归纳法 第1课时 归纳法原理 1.了解数学归纳法原理，会用数学归纳法原理证明一些简单的与正整数有关的命题; 2.通过对多米诺骨牌全部倒下的条件的类比和迁移，归纳得到数学数学归纳法的两个步骤,提高学生数学表达能力和推理论证能力; 3.体会从特殊到一般、无穷到有限的辩证思维过程，发展数学抽象素养. 重点：1.理解数学归纳法的原理； 2.理解数学归纳法中n和n+1的关系. 难点：1.理解构建递推关系； 2.让学生理解用数学归纳法证明数学命题的原理. （一）创设情境 不完全归纳：从一个几个（但不是全部）特殊情况作出一般性结论的归纳推理。这种归纳是以有限数量的事实作为基础而得出的一般性结论.受限于样本的数量，结论不具有必然性、普遍性、可靠性. 那么，如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 师生活动：教师展示不同的动漫形象，提出问题，引导学生推理第四个形象的名字，从而引入不完全归纳法的定义，并提出不完全归纳法存在的问题. 设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移. （二）探究新知 任务1：探究“骨牌原理” 探究：已知数列满足，，计算，，，猜想其通项公式，并证明你的猜想. 思考1：如何证明这个猜想呢？ 答：我们自然会想到从n=5开始一个个往下验证. 思考2：一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n比较大时，验证起来会很麻烦.特别是证明n所取的所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的.那么，能否通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立？ 播放多米诺骨牌视频. 思考3：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 答：（1）第一块骨牌倒下； 任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下. 思考4：你认为条件(2)的作用是什么 如何用数学语言描述它 答：条件（2）给出了递推关系： 师生活动：小组内交流，并汇报展示. 设计意图：通过多米诺骨牌游戏，寻找和构建递推关系. 任务2：类比多米诺“骨牌原理”，探究数学归纳法. 思考5：你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？ 由及递推关系； 由及递推关系； 由及递推关系； ...... 递推关系： 命题：当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立. 如果n=k时猜想成立，即，那么 即当n=k+1时，猜想也成立. “骨牌原理”与“猜想的证明步骤”对比分析 骨牌原理 猜想的证明步骤 ①第一块骨牌已经倒下 ①证明n=1时，的猜想正确 ②证明“若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下”这句话是真实的 ②证明“如果n=k时猜想正确，即，那么n=k+1时，猜想也正确”即 ③根据①②所有的骨牌都倒下 ③根据①②，这个猜想对一切正整数n都成立 探究：请根据“骨牌原理”与“猜想的证明步骤”对比分析构建数学归纳法的结构框图： 思考6：数学归纳法的第一步的初始值是否一定为1？ 答：不一定.如证明n边形的内角和为（n-2）·180°，第一个值. 思考7：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系 答：记是一个关于正整数n的命题. 条件： 为真； 若为真，则也为真 真，真......真，真....... 结论：为真. 设计意图：通过类比骨牌原理，得出数学归纳法的证明步骤，将无限个步骤转化为有限个步骤，培养学生类比思想，便于理解和解释复杂的概念和现象． （三）应用举例 例1 用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么 对任何都成立. 分析： 第一步：证明n=1时命题成立； 第二步：明确 ... ...