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课件网) “将军饮马”模型 利用轴对称解决最短路径 为了解决生产、经营中省时省力省钱而希望寻求最佳方案产生了最短路径问题。 近几年来，最短路径问题是中考的热点，且经常用“将军饮马”中的对称思想解决一类最小值问题，其归属于动态几何问题，由于学生的建模能力不强，导致难以下手。 我也由形形色色的题目获得一些思考，将以“将军饮马”问题为载体进行变式设计，开展对“最短路径问题”的探究，在经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，发现其实质即利用轴对称、平移、构造全等相似等手段将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题。 模型背景 模型思路 （三动型） P’ . 两点之间，线段最短 垂线段最短 1、一定一动型 （APmin） 2、两定一动型 （AP+BP)min 两顶点在异侧 两顶点在同侧 转化成异侧 化折为直 轴对称性 化折为直 3、两动一定型 如图，已知将军营地在P处，将军每天牵着马先到河边M地饮水，再到草地N地吃草，然后回到营地，试设计出最短的路线。 抽象 化折为直 类比 思考1：若只求PM+MN最小值是什么情况？ 即求△PMN周长最小 思考2：我们能不能把P点也动起来呢？ 化折为直 垂线段最短 不难发现，△PMN的周长最小值即P’P’’的长度！ 思考：P’P’’的长度跟哪些量有关？ 思考2：能否考虑把P点也动起来的情况呢？ 问：在一个△ABC中任取三点P，M，N，使得△PMN周长最小 3、三动点 思考3：P点能不能在弧上动？ 点P是弧BC上的动点 点M，N是线段AB，AC上的动点，∠A为定角。 求△PMN周长最小？ 根据对称后化折为直△PMN周长最小即转化为P’P’’最小 类比，P’P’’最小即求AP最小。 圆外一点到圆上距离最小即“一箭穿心”问题。连结AO交弧BC即为所求P点 4、两定两动型 如图点P、Q是∠O内的两点，M，N分别在射线m,n上,要使四边形PABQ的周长最小。 变式、饮水散步 将军从军营A地出发，牵着马到河边P处饮水后，沿着河边散步100米到达Q处，再到军营B地，问：点P在什么位置才能使将军所走的路程最短？ 架桥选址 甲、乙两个单位分别位于一条河流的两边A处和B处，现准备合作修建一座桥，桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？请做出示意图。（注意：桥必须与河流两旁垂直，桥宽忽略不计） 应用讲解 应用1 如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AD=4，P是对角线AC上一动点，连结DP,求 AP+DP最小值 思路1：如何利用角度的特殊性将AP转化 思路2：转化后能否将“将军饮马”模型应用其中 “胡不归”模型 应用讲解 应用1 如图，在Rt△ OAB中，AO=6，BO=8,圆O的半径为4，P是圆O上一动点，连结AP,BP，求 BP+AP最小值 思路： 可证△OHP∽ △OPB，相似比1：2， ∴HP= BP ∴BP+AP =HP+AP，相当于两定点H，P分别在圆内，圆外，P是圆弧上一动点，同直线异侧问题，两点之间线段最短。 “阿氏圆”模型 构造相似 连OP，取半径中点H 应用讲解 应用3 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，连结BD，在BC，DB上各有一点E，F，且BE=DF，求AE+AF最小值 思路1.在BH上截BH=AD,则△ADF全等于△HBE 2.则AE+AF=AE+HE，套用将军饮马即可。 “逆等线”模型 教法 2 3 1 能将实际生活问题或一些几何问题中抽象剥离出“将军饮马”模型 掌握“将军饮马”的基本模型 能把“将军饮马”的基本模型应用到不同的问题情境中。 应用归纳 几点思考 1、关于几何基本模型的探究的必要性 2、题目的积累，题型的归纳，题后的反思 3、形形色色的解题技巧，花里胡哨的解题名称，有时并不需要成为学生心中的“珠峰”，回归解题的初衷！ “条件联想———合理假设———结论倒推” 感谢您的聆听！ ... ...
