专题12 反比例函数的图象和性质及其应用（讲）5个考点+25个题型 2025年中考数学一轮复习重难点突破(原卷+解析版)

中小学教育资源及组卷应用平台 专题12 反比例函数的图像和性质及其应用 准确描述反比例函数图像是双曲线，能说出双曲线的两个分支分别位于第一、三象限(当k> 0时)或第二、四象限(当k < 0时)，并且关于原点对称. 熟练掌握k对函数单调性的影响。当k> 0时，在每个象限内y随的增大而减小;当k< 0时，在每个象限内y随x的增大而增大. 通过自主绘制反比例函数图像、观察图像特征并总结函数性质的过程，培养学生的自主探究能力. 学会类比一次函数的学习方法来研究反比例函数，如类比一次函数图像的绘制方法来绘制反比例函数图像，类比一次函数的性质研究反比例函数性质等，提高学生的类比分析能力. 一般地，如果两个变量、y之间的关系可以表示成y=k/x（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。 因为y=k/x是一个分式，所以自变量x的取值范围是x≠0。 反比例函数的其他书写形式：（1）xy=k（x≠0）；（2）y=kx-1（x≠0） （1）当 时，两支曲线分别位于第一、三象限内； 当 时，两支曲线分别位于第二、四象限内； 两个分支无限接近x和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交. （2）图象的画法（三步法） ① ； ② ：在平面直角坐标系中标出点（一般标5个点，称为5点作图法）。 ③ ：用平滑的曲线连接点。 （1）反比例函数的性质 当k＞0时，图象分别位于 象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而 ； 当k＜0时，图象分别位于 象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而 ； （2）反比例函数k的几何意义 在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 |； （3）反比例函数的对称性 反比例函数图象是 ，对称中心是 ；反比例函数的图象也是 ，其对称轴为y=x或y=-x；反比例函数图象上的点关于坐标 对称。 【经典例题1】（2023·广西百色·一模）下列函数中，不是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-1】（2024·湖南株洲·一模）下列关系中，成反比例函数关系的是（　　） A．圆的面积与它的半径之间的关系 B．用频率估计概率时，概率与频率的关系 C．电压一定时，电流与电阻之间的关系 D．小明的身高与年龄之间的关系 【变式训练1-2】（2024·北京顺义·一模）已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3个描述： ①可能是一次函数关系； ②可能是反比例函数关系； ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【经典例题2】（2024·河北秦皇岛·一模）反比例函数，在图象的每一支上，y随x的增大而减小，则 【变式训练2-1】（2024·湖南株洲·一模）若函数是y关于x的反比例函数，则 ． 【变式训练2-2】已知反比例函数的图像在第一、三象限，则的值为 ． 【经典例题3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知反比例函数的图像经过，则 【变式训练3-1】（2023·江苏淮安·模拟预测）在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象经过点和点，则m的值为 ． 【变式训练3-2】（2024·青海果洛·二模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 【经典例题4】（2024·广东惠州·三模）综合探究 请根据学习函数的经验，将下列探究函数的图象与性质的过程补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_____． (2)下表列出了与的几组对应值，请写出其中的值_____，_____； 0 2 3 4 2 1 (3)在如图所示的平面直角坐标系中，描出以（2）表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (4)根据图象直接写出时的取值范围：_____． 【变式训练4-1】（2024·宁夏中卫·一模）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下： x … 0 1 2 … y … 3 2 m ... ...