第六章 特殊平行四边形 3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 第六章 特殊平行四边形 3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 轻松过关 1.矩形和正方形都具有的性质是 ( ) A.对角线互相平分且相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线互相垂直平分且相等 D.对角线平分一组对角 2.如图,在正方形ABCD的外侧作等边 连接 AE,AC,则的大小为 ( ) 第2题图 第3题图 3.如图,四边形ABCD是正方形,点 E 在AD 上,连接BE,过点 A 作BE 的垂线交CD 于点F，点 G为垂足，下列选项中的结论，不正确的是 ( ) B.∠DFA=∠AEB C. AG=GF 4.如图，正方形ABCD边长为2,点 E 是 BC 边的中点, 的平分线交CD 于点 F，交 BC 延长线于点G，则CG的长是 ( ) A. 2 5.如图,在正方形 ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,E,F分别为AO,DO上的一点，且 ∥连接 AF,DE. 若 则 的度数为 ( ) 第5题图 第6题图 6.如图,在正方形ABCD中， 点 E 在CD边上,且 点 P 是对角线AC 上的一个动点，则 PD的最小值是 ( ) C. 9 7.如图,在正方形ABCD的外侧，作等边三角形 ADE，则 _____°. 第7题图 第8题图 8.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E 是OC 的中点,连接 BE,过点 A 作于点M,交 BD 于点 F.若 4,则AF的长为_____. 9.在平面直角坐标系中,正方形 ABCD D如图所示，点A 的坐标是点 D 的坐标是则点C的坐标是_____. 第9题图 第10题图 10.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG 中，点D 在CG 上, 若点 H 是AF 的中点，那么CH 的长是_____. 11.如图,在平行四边形ABCD 中，点 E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF 为正方形. (1)求证: (2)已知平行四边形 ABCD的面积为20，求CF的长. 12.如图,在正方形 ABCD中,点 E 在边AD上,点 F 在边 CD 上,且 线段BE与AF 相交于点G,GH是 的中线.判断线段 BF与GH 之间的数量关系，并说明理由. 13.如图,在正方形 ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点 B，D 不重合), E、F 分别为垂足.连接 EF,AG,并延长AG交EF 于点H. (1)求证: (2)判断AH 与 EF 是否垂直，并说明理由. 快乐拓展 14.如图,在正方形 ABCD 中,点 E，F分别在边BC,CD 上, 连接AE,EF,AF,下列结论： ②AE平分∠BEF ③△CEF 的周长为2 ④若AH⊥EF于点 H,则 其中正确结论是_____(填序号). 15.有公共顶点 A 的正方形ABCD 与正方形AEGF 按如图1所示放置，点 E，F 分别在边AB 和AD 上,连接BF,DE,M是BF 的中点,连接AM交DE 于点 N. 【观察猜想】 (1)线段 DE 与 AM 之间的数量关系是_____，位置关系是_____； 【探究证明】 (2)将图1中的正方形 AEGF 绕点A 顺时针旋转 点G恰好落在边AB上，如图2，其他条件不变，线段 DE 与AM 之间的关系是否仍然成立 并说明理由. 参考答案 1. A 2. A 3. C 4. B 5. C 6. A 7.30 9. (2,5) 11.解:(1)证明:∵四边形 BEDF为正方形,∴DF=EB, ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴DC=AB,∴DC-DF=AB-EB, ∴CF=AE,即AE=CF; (2)∵平行四边形 ABCD 的面积为 20,AB=5,四边形 BEDF为正方形, ∴5DE=20,DE=EB,∴DE=EB=4,∴AE=AB-EB=5-4=1, 由(1),得AE=CF,∴CF=1. 12.解:BF=2GH, 理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD=∠D=90°,AB=DA, ∵AE=DF,∴△ABE≌△DAF(SAS),∴∠ABE=∠DAF. ∵∠DAF+∠BAG=∠BAD=90°,∴∠ABE+∠BAG=90°,∴∠BGF=∠ABE+∠BAG=90°. 在 Rt△BFG中,GH 是斜边 BF 的中线,∴BF=2GH. 13.解:(1)证明:在正方形 ABCD中,AD⊥CD,GE⊥CD, ∴∠ADE=∠GEC=90°,∴AD∥GE,∴∠DAG=∠EGH; (2)AH⊥EF,理由如下: 连接GC交EF 于点O,如图: ∵BD 为正方形ABCD 的对角线,∴∠ADG=∠CDG=45°, 又∵DG=DG,AD=CD,∴△ADG≌△CDG(SAS),∴∠DAG=∠DCG. 在正方形 ABCD中,∠ECF=90°,又∵GE⊥CD,GF⊥BC,∴四边形 FCEG为矩形, ∴OE=OC,∴∠OEC=∠OCE,∴∠DAG=∠OEC, 由(1)得∠DAG=∠EGH,∴∠EGH=∠OEC, ∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°, ∴∠GHE= ... ...