(
课件网) 1.4.4诱导公式与旋转 北师大版（2019）必修第二册 第一章 三角函数 学习目标 能够借助诱导公式，把任意角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题转化为锐角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题 02 能借助单位圆的旋转，利用定义推导出正弦函数、余弦函数的诱导公式 01 情境导入 风车最早出现在波斯，起初是立轴翼板式风车，后来又发明了水平轴风车．风车传入欧洲后，在欧洲得到了广泛应用．荷兰、比利时等国为排水建造了功率高达66千瓦的风车．18世纪末期以来，随着工业技术的发展，风车的结构和性能都有了很大提高，已能采用手控和机械式自控机构改变叶片桨距来调节风轮转速． 如图所示的风车是由4个扇叶组成，相邻两个扇叶之间的角度为直角，若将风车扇叶的最外侧看作一个质点，如果知道其中一个质点的坐标，你能求出其他三个质点的坐标吗？ 知识回顾 公式（1）： 公式（2）： 公式（3）： 公式（4）： 正负号分布 + + + + - - - - v=sinα u=cosα 在平面直角坐标系中，设任意角α和α＋ 的终边与单位圆的交点分别为P和P′． sin α，cos α与sin(α＋)，cos(α＋)的关系 1 角是由角逆时针旋转得到的， 根据初中学习的全等三角形知识， 设点P的坐标为（u，v）， 则P′的坐标为（－v，u）. sin α，cos α与sin(α＋)，cos(α＋)的关系 点的横坐标与点的纵坐标相等 点的纵坐标与点的横坐标的绝对值相等且符号相反 即对任意角，有①sin 即对任意角，有②cos －sin α 1 sin α，cos α与sin(α－)，cos(α－)的关系 设任意角α的终边与单位圆的交点为P，角α与单位圆的交点为P' 角 α是由角 α 顺时针旋转 得到的，由平面几何知识可知， 若P（u,v），则P'（v，－u,） 点的横坐标与点的横坐标的绝对值相等且符号相反 即对任意角，有① 即对任意角，有①sin 点的纵坐标与点的纵坐标相等 sin α，cos α与sin(α－)，cos(α－)的关系 思考：还有其它方法推导角α与 －α的正弦函数、余弦函数关系吗？ sin α，cos α与sin(－α)，cos(－α)的关系 思考：如图，角 －α的终边与角α的终边有什么关系？你能写出角α与 －α的终边与单位圆的交点的坐标吗？你能得出什么数学结论，把你的发现与同伴交流． x O y y=x α P P1 点P（cos α，sin α），因为P1与P关于直线y＝x对称， 角－α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称， P1（cos（－α），sin（－α））， 所以cos（－α）＝sin α，sin（－α）＝cos α． 诱导公式：对于任意角 ，下列公式均成立(其中)： sin（2kπ＋α）＝sin α（k∈Z） cos（2kπ＋α）＝cos α（k∈Z） sin（－α）＝－sin α cos（－α）＝cos α sin（2π－α）＝－sin α cos（2π－α）＝cos α sin（π－α）＝sin α cos（π－α）＝－cos α sin（π＋α）＝－sin α cos（π＋α）＝－cos α 通常称上述公式为正弦函数、余弦函数的诱导公式. 至此，我们在平面直角坐标系中，对角 α 的终边经过对称或旋转得到了诱导公式. 我们发现， 是这些诱导公式中旋转的最小角度，而π ，2kπ 又都是 的整数倍； 还有，中心对称也可以用旋转 π 表示. 于是，我们试图用旋转 的整数倍来分析诱导公式. 1、先分析 α＋，α＋π，α－π和α＋2kπ(k∈Z) (1)α＋ 可以看作角 α 的终边逆时针旋转了 (2)α＋π 可以看作角 α 的终边逆时针旋转了 的2倍 (3)α－π 与α＋π 的终边重合，其三角函数值均相等 (4)α＋2kπ 可以看作角 α 的终边逆旋转了 的 4k 倍(k∈Z) 2、再分析 －α，π－α，α－π和α＋2kπ(k∈Z) (1)显然，－α也就是－(α－)，α－与α＋ 的终边重合，其三角函数值均相等，即求α－的三角函数时，可以将α－看作角 α 的终 ... ...
