6.3.2 正方形的判定（学案，有答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 6.3.2 正方形的判定（学案，有答案） 列清单·划重点 知识点1 正方形的判定 1.定义法：有一组_____相等的矩形是正方形. 几何语言：如图所示， ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴矩形 ABCD是正方形. 2.定理1：对角线相等的_____是正方形. 几何语言：如图所示， ∵四边形 ABCD 是菱形,_____, ∴菱形 ABCD是正方形. 3.定理2：对角线互相_____的矩形是正方形. 几何语言：如图所示， ∵ 四边形 ABCD 是矩形,_____, ∴矩形 ABCD是正方形. 4.定理3：有一个角是直角的菱形是正方形. 几何语言：如图所示， ∵四边形ABCD 是菱形,_____, ∴菱形 ABCD 是正方形. 注意 判定正方形的一般思路； 正方形的判定方法较多，应用时要注意灵活选择. 知识点2 正方形的性质和判定 注意 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形. 明考点·识方法 考点1 利用矩形证明正方形 典例1 如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为点 E、F.求证：四边形 PEBF 是正方形. 思路导析 根据有一组邻边相等的矩形是正方形证明即可。 变式 如图，在四边形AECF中, CE,CF 分别是 的内、外角平分线. (1)求证：四边形AECF是矩形； (2)当 满足什么条件时，四边形AECF是正方形 请说明理由. 考点2 利用菱形证明正方形 典例2 如图，四边形ABCD 是平行四边形， 点 E 是边 CD 的延长线上的动点，连接AE,过点 C作 于点 F. (1)求证:四边形ABCD 是正方形; (2)当点 F 是AE 的中点,且 时，求四边形ABCD的面积. 思路导析 (1)根据四边形 ABCD 是平行四边形，AB=BC得平行四边形ABCD 为菱形，再根据 即可得出结论；(2)连接 AC，根据于点 F,点 F 为AE 的中点得 CF 为线段 AE 的垂直平分线，则 在中由勾股定理得 据此可得四边形ABCD的面积. 变式 如图，四边形AECF 是菱形,对角线 AC,EF交于点O,点 D，B是对角线EF 所在直线上两点，且连接 AD,AB, CD,CB, (1)求证:四边形ABCD 是正方形; (2)若正方形 ABCD 的面积为72, 求菱形 AECF 的面积. 考点3 正方形性质和判定的综合应用 典例3 如图，在正方形ABCD和 中,点 B,C,G在同一条直线上，P是线段AF 的中点，连接 DP，连接EP 并延长，交AD于点 Q.请证明： (1)四边形 ECGF 是矩形; (2)当 时,四边形 ECGF 是正方形. 思路导析 (1)根据正方形的性质和平角的定义证明 即可证明平行四边形 ECGF 是矩形；(2)根据正方形的性质，结合已知条件，证明得出 PE，进而证明 得出 即可得出 根据邻边相等的矩形是正方形即可证明. 变式 如图，正方形ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,∥∥ (1)求证:四边形OCED 是正方形; (2)若 则点 E 到边 AB 的距离为_____. 当堂测·夯基础 1.如图，将矩形纸片ABCD 折叠,使点 A 落在 BC上的点 F 处, 折痕为 BE，若沿 EF 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是 ( ) A.邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形 C.两个全等的直角三角形构成正方形 D.轴对称图形是正方形 第1题图 第2 题图 2.如图，在平行四边形ABCD中，添加的下列条件中，能判定平行四边形 ABCD是正方形的是 ( ) 平分 3.如图，在正方形ABCD内,作等边三角形ADE,连接BD,BE.则 4.如图,在 中，垂足为点 D,AN 是外角 的平分线， AN,垂足为点 E. (1)求证:四边形 ADCE 为矩形; (2)当 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形 请给出证明； (3)在(2)的条件下,若, 求正方形 ADCE 的周长. 参考答案 【列清单·划重点】 知识点1 1. 邻边 2. 菱形 3.垂直 4.∠ABC=90° 【明考点·识方法】 典例1 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴四边形 PEBF 是矩形, ∴四边形 PEBF 是正方形. 变式 证明:(1)∵CE,CF分别是 的内、外角平分线， ∴∠AEC=∠AFC=90°,∴四边形 AECF 是矩形; (2)当△ABC 满足∠ACB=90°时,四边形AECF 是正 ... ...