6.1.2 菱形的判定（学案，有答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 6.1.2 菱形的判定（学案，有答案） 列清单·划重点 知识点1 菱形的判定 1.定义法：有一组_____相等的平行四边形是菱形. 几何语言：如图所示， ∵四边形 ABCD 是平行四边形且 ∴平行四边形 ABCD 是菱形. 2.定理1：对角线_____的平行四边形是菱形. 几何语言：如图所示， ∵四边形 ABCD 是平行四边形且_____， ∴平行四边形ABCD 是菱形. 3.定理2：四条边都_____的四边形是菱形. 几何语言：如图所示， ∵_____,∴四边形 ABCD 是菱形. 规律总结 判定菱形的基本思路： 四条边都相等 (1)一般四边形菱形. (2) 知识点2 菱形的性质和判定 1.连接对角线构造等腰三角形或直角三角形. 2.作高构造直角三角形. 明考点·识方法 考点1 根据菱形的定义进行判定 典例 1 如图,在中，对角线 AC 与 BD 相交于点O,点 E,F 在BD 上,BE=EF=FD,且AC 平分∠EAF,连接CE,CF. (1)求证:四边形 AECF 是菱形; (2)若△ABC 的周长为36,BD=24,则四边形 AECF 的面积为_____. 思路导析 (1)由平行四边形的性质可得OA=OC,OB=OD,又根据BE=FD,可得OE=OF,可证四边形AECF是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的定义可证AE=CE，即可得结论； (2)由菱形的性质可得AC⊥EF,AO=CO,EO=FO，可得AB=BC，由勾股定理可求AO的长，由菱形的面积公式即可求解. 变式 如图,已知点 A,D,C,B在同一条直线上,且 AD=BC,AE=BF,CE=DF. (1)求证:AE∥BF; (2)若DF=FC时,求证:四边形 DECF 是菱形. 考点2 根据菱形的边进行判定 典例2 在一次数学实践探究活动中，某兴趣小组将一张平行四边形纸片ABCD 进行折叠，折痕为AE，点 E 在 BC 边上,点 B 落在点 F 处.当点 F恰好落在AD 边上时，求证：四边形 ABEF是菱形. 思路导析 根据四条边相等的四边形是菱形进行判定即可. 变式 周末，小美和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯，其截面如图所示，四边形ABCD是一个菱形内框架，四边形 AECF 是其外部框架,且点 E,B,D，F在同一直线上， (1)求证:四边形外框 AECF 是菱形; (2)若外框 AECF 的周长为 80 cm, 32 cm,BE=7 cm,求 AB 的长. 考点3 根据菱形的对角线进行判定 典例3 如图,在 中，对角线 BD的垂直平分线分别与AD，BD，BC 相交于点 E,O,F,连接BE,DF.求证:四边形 EBFD是菱形. 思路导析 首先判定平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可. 变式 如图，在 中，对角线AC 与 BD 相交于点O，过点 O的直线EF 与BA,DC的延长线分别交于点E,F. (1)求证: (2)请再添加一个条件，使四边形 BFDE 是菱形，并说明理由. 考点4 菱形性质与判定的综合应用 典例4 如图,在平行四边形 ABCD 中,点 F 在边AD上, 连接BF，点O为BF 的中点,AO的延长线交边BC 于点 E, 连接EF. (1)求证:四边形 ABEF 是菱形; (2)若平行四边形 ABCD 的周长为22,求AE的长. 思路导析 (1)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；(2)证明 是等边三角形，求出AB 可得结论. 变式 如图，在中,FA⊥AB 交 CD 于点 E,交BC的延长线于点F，且 连接AC, DF. (1)求证:四边形 ACFD 是菱形; (2)若 求四边形ACFD的面积. 当堂测·夯基础 1.如图, 的对角线AC，BD 交于点O，以下条件不能证明是菱形的是 ( ) 第1题图 第2题图 2.如图所示,AD 是的角平分线,DE∥AB交AC 于点E,DF∥AC交AB 于点 F,则四边形AEDF为 ( ) A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.不是平行四边形 3.判断四边形的框架(如图)是不是菱形，有以下方法：①检测框架的四条边是不是相等 ②检测框架的四个角是不是相等 ③检测框架对角线是否互相垂直且相等.其中方法可行的是 ( ) A. ① B. ② C. ①③ D. ②③ 第3题图 第4 题图 4.如图,在△ABC中,AD,CD分别平分∠BAC 和∠ACB,AE∥CD,CE∥AD.若从三个条件:①AB=AC ②AB=BC ③AC=BC中,选择一个作为已知条件，则能使四边形 ADCE ... ...