高三数学热点专题—导数题 1、已知函数 (为实常数)． （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围； （3）是否存在正实数，使得在区间上的最大值为3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。 设计意图：考查函数的单调性及分类讨论的思想方法； 要点解析：突出分类讨论的方法，重视函数图象的应用； 评讲建议：评讲第（2）问的关键在于抓住分界点及利用图像研究单调性； 解答过程：（1）偶函数 （2） 综上： （3）当时， 依题意： 或 2、已知为自然对数的底数，为实数且为常数。 （1）如果关于的方程有两个不等的实数根，求的取值范围； （2）如果对于任意，都有，求的取值范围； （3）是否存在实数，使函数在上为减函数，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。 【选题意图】函数是高中数学的主线，其包涵的范围非常广泛。本题共三小题分别从函数与方程、恒成立及函数的单调性进行命题。 【要点解析】 （1）方程有两个不同的实数根，即：有两个不同的实数根，令，等价于方程有两个不同的正实数根,然后利用二次函数图像或者根与系数关系进行解答。 （2）令,等价于即对进行研究。也可以对进行讨论转化为，然后求出 的范围。 （3）（法一）利用定义，作差比较。 ， 因为，，，所以，恒成立， 因为， （法二）利用导数， （法三）利用复合函数的单调性 【讲评建议】 学生对函数的学习比较全面，基础比较扎实。教师在讲评试卷过程中要注意发挥学生的主体性。每一题学生都有一定的思路，并且会有许多意想不到的好方法。所以尽量做到一题多解，一题多思，从而做到一题多获。 【解答过程】 （1）方程有两个不同的实数根，即：有两个不同的实数根， 令，等价于方程有两个不同的正实数根,记为， 所以，得；；. 所以. （2）令,等价于即 当，，不合题意 当，，不合题意 当，，所以，，即 综上所述： （3）依题意在恒正或恒负，由于是单调递增函数，故应有在恒成立， 即，，所以。 另一方面：， 要使函数在上单调递减，恒成立，所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 由于是单调递增函数，所以 综上可得，存在实数，使函数在上为减函数。 3.已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【设计意图】 （Ⅰ）考查用导数研究单调性，考查二次问题，考查分类讨论的数学思想方法 难度：中下 （Ⅱ）考查用导数研究恒成立，可以将恒成立问题转化为最值问题来处理 难度：中 【解答过程】 （Ⅰ）函数的定义域为，. 令，则或， 当时，在上恒成立，所以的单调递增区间是，没有单调递减区间； 当时，的变化情况如下表： 所以的单调递减区间是，单调递增区间是. 当时，的变化情况如下表： 所以的单调递减区间是，单调递增区间是. 综上得： 当时， 的单调递增区间是，没有单调递减区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，符合题意. 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以恒成立等价于，即，即，所以. 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以恒成立等价于，即，即，所以. 综上得，实数的取值范围是. ……………16分 【讲评建议】 （Ⅰ）要点拨如何确定讨论的分界点 （Ⅱ）要点拨恒成立问题的几种常见方法，本题不好分离参数处理 4.已知函数. （1）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围； （2）若对恒成立，求实数的取值范围. 【设计意图】 （Ⅰ）考查用导数研究方程根 难度：中下 （Ⅱ）考查用导数研究不等式恒成立，要借助“虚零点” 难度：中上 【解答过程】（1）方程，即. 令，则. 令，则（舍），. 当x∈[1， 3]时，随x变化情况如表: x 1 3 ＋ 0 － 极大值 ∴ ... ...
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