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课件网) 8.1.3 第八章 <<< 向量数量积的坐标运算 1.理解向量数量积坐标表示的推导过程. 2.掌握向量数量积的坐标表示及运算. 3.能根据两向量的坐标解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题. 学习目标 同学们，前面我们学面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？ 导 语 一、向量数量积的坐标表示 二、向量模的坐标表示 课时对点练 三、向量的夹角与垂直 随堂演练 内容索引 四、向量数量积的坐标运算在平面几何中的应用 一 向量数量积的坐标表示 提示 e1·e1=1，e2·e2=1，e1·e2=0. ∵a=x1e1+y1e2，b=x2e1+y2e2， ∴a·b=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2) =x1x2+x1y2e1·e2+x2y1e2·e1+y1y2. 又∵e1·e1=1，e2·e2=1，e1·e2=e2·e1=0， ∴a·b=x1x2+y1y2. 在平面直角坐标系中，设e1，e2分别为与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出e1·e1，e2·e2，e1·e2的值吗？若设非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，能否用a，b的坐标表示出a·b？ 问题 设非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=_____. x1x2+y1y2 (1)已知a=(2，-1)，b=(1，-1)，则(a+2b)·(a-3b)等于 A.10 B.-10 C.3 D.-3 例 1 √ a+2b=(4，-3)，a-3b=(-1，2)，所以(a+2b)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10. (2)已知a=(2，-1)，a+2b=(6，3)，若b·c=14，a·c=2，则向量c的坐标为 . 设b=(x1，y1)， ∴a+2b=(2x1+2，2y1-1)=(6，3)， ∴2x1+2=6，且2y1-1=3， 解得x1=2，y1=2，∴b=(2，2)，设c=(x2，y2)， (3，4) 则解得x2=3，y2=4， ∴c=(3，4). 进行数量积的坐标运算时，要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2. 反 思 感 悟 (1)设向量a=(1，-2)，向量b=(-3，4)，向量c=(3，2)，则向量(a+2b)·c等于 A.(-15，12) B.0 C.-3 D.-11 a+2b=(-5，6)， ∴(a+2b)·c=-15+12=-3. 跟踪训练 1 √ (2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，=2， 则= . 如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系. ∴B(2，0)，E(1，2)，C(2，2)， F， ∴=(-1，2)，=. ∴=2-=. 二 向量模的坐标表示 设a=(x，y)，则|a|=_____. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||=. (1)已知点A(0，1)，B(1，-2)，向量=(4，-1)，则||= . 例 2 ∵=(1，-3)，=-=(4，-1)-(1，-3)=(3，2)，∴||==. (2)已知向量a=(cos θ，sin θ)，向量b=(3，0)，则|2a-b|的最大值和最小值分别是 A.4，0 B.4，2 C.25，1 D.5，1 √ 方法一 设a与b的夹角为α， |2a-b|== ==. ∵cos α∈[-1，1]， ∴13-12cos α∈[1，25]， ∴|2a-b|∈[1，5]. 方法二 由题意得2a-b=(2cos θ-3，2sin θ)， ∴|2a-b|= =， ∵cos θ∈[-1，1]， ∴13-12cos θ∈[1，25]， ∴|2a-b|∈[1，5]. 反 思 感 悟 求向量a=(x，y)的模的常见思路及方法：求模问题一般转化为求模的平方，即a2=|a|2=x2+y2，求模时，勿忘记开方. 已知向量a=(2，1)，a·b=10，|a+b|=5，则|b|等于 A. B. C.5 D.25 跟踪训练 2 ∵a=(2，1)，∴a2=5， 又|a+b|=5，∴(a+b)2=50， 即a2+2a·b+b2=50， ∴5+2×10+b2=50，∴b2=25， ∴|b|=5. √ 向量的夹角与垂直 三 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， (1)cos〈a，b〉==. (2)a⊥b _____. x1x2+y1y2=0 (1)已知向量a=(-2，1)，b=(1，k)，且a与b的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是 . 例 3 当a与b共线时，-2k-1=0，解得k=-，此时a与b反向，夹角为180°， 要使a与b的夹角为钝角， 则有a·b<0，且a与b不反向，即k≠-. 由a·b=-2+k<0得k<2， 所以实数k的取值范围是∪. ∪ (2)已知a=(4，-3)，b=(-1，2). ①求a+b与a-b夹角的余弦值； 设a+b与a-b的夹角为θ， ∵a+b=(3，-1 ... ...
