3.4函数的应用 教案

授课题目 3.4 函数的应用 选用教材 高等教育-出卷网-《数学》 2021 十四五 （基础模块上册）（修订版） 授课 时长 2 课时 授课 类型 新授课 教学提示 本课将通过解决实际生活中的简单函数问题（一次函数、分段函数、二次函数），提高学生对于这三种函数的应用的意识． 教学目标 能在不同的场景下，选择合适的函数模型解决实际的问题． 2.通过数学建模的思想提高学生的思维能力，并提升学生对数学抽象的认识；培养学生对数学的热爱。 教学 重点 选择恰当的函数模型解决实际问题． 教学 难点 函数模型的建立；二次函数模型的最值问题． 教学 环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图 情境导入 我们生活有很多关于函数模型的说法，其实在现实中大部分问题都是可以通过建立函数模型来解决，同学们可以想一想？ 提示：函数模型=函数关系？ 通过自媒体工具，学生们看向大屏幕，通过例子我们一起来看看一次函数模型、二次函数模型和分段函数模型在实际生产生活 中的应用． 描述说明 思考体会 点明数学建模的意义 探索新知 1.一次函数模型 要给一个水箱匀速注水，注满为止．已知水箱的容积为 160L ，注水前水箱里有水 20L ，当注水 30min 后，水箱有 80L水，若水量y(L)是注水时间 x(min)的一次函数，试写出这个函数的解析式． 提示：想一想，是否可以利用一次函数模型和我们之前学习过的待定系数法找出y与x的函数关系？ 说明 指导 思考 讨论 在给定函数 情 况下，结合函数一般形式，分析问题中已知数据与解析式 中变量之 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 解：设水量与注水时间的一次函数解析式为 y=kx+b． 当 x=0 时 y=20；x=30 时 y=80，故代入上面解析式得 { b = 20, 30k + b = 80. 解得{ k=2, 所以y=2x+20． b=20. 又因为 y ≤160 ，即 2x+20 ≤160 ，得 x≤70．所以水量 y 与进水时间 x 的函数为 y=2x+20，x ∈ [0,70]． 2.分段函数模型 如下图所示是某高速列车一次测试中从静止到行驶再到停车的示意图，其中 y(km/h)是车速， x(min) 是行车时间．你能写出车速y与行车时间x的函数解析式． 分析 由上图可看出该函数关系应该是分3种情况讨论，即可想到分段函数，利用分段函数解决实际问题，根据列车行驶速度的不同，对应的时间不同进行分类讨论． 解 由题目可知行车时间x的取值范围为 0≤x≤120． 在0≤x≤5， 5＜x＜110， 110≤x≤120 三个范围有不同的行驶状态 归纳总结 展示讲解 说明 引领分析 交流 求解 体会思索 分析 解决问题 间的对应关系，建立 方 程组，求出待定系数 本问题中没有明确函数的类型，但通过图像可知，这是一个分段函数模型的应用，在各段中都是线段 （直线），可以用一次函数或常数函数表示；不同的时间段，列车 行驶的速 1、当 0≤x≤5 时，看图像可知是过原点的一条线段，则令y=kx，因点（5, 400）在线段上，所以有400=5k， 得 k=80，故y=80x． 2、当 5＜x＜110 时，看图像可知是一条平行于 x轴的线段，故y=400． 3、当 110≤x≤120 时，看图像可知是过点(110,400)和点（120,0）的一条线段，设y=ax+b， 得 400=110a+b, { 0=120a+b. 解得{ a=-40, 因此y=-40x+4800． b=4800. 故该列车车速 y 与行车时间 x 之间的函数解析式为 60x, 0≤x≤5, y = { 300, 5＜x＜110, -30x+3600, 110≤x≤120. 二次函数模型 情境与问题 1 现有 18 m长的不锈钢，要制作一个矩形窗框（如图所示）． 求窗框所围成的面积 y(m )与窗框宽 x(m)之间的函数关系式； 当窗框宽为何值时，窗框所围成的面积最大？最大值为多少？ 分析 可以利用二次函数想一想怎么去解决这个实际问题；比如利用矩形面积公式得到一个关系．通过二次函数模型是否可以解决窗框所围成的最大面积．同学们可以互相讨论想一想。 解（1）因为窗框的宽为 x(x>0)，根 ... ...