第三十讲 相似与位似 2025年中考数学一轮专题分层练习（含答案）（苏科版）

第三十讲　相似与位似 1.如图,已知直线a∥b∥c,直线m交直线a,b,c于点A,B,C,直线n交直线a,b,c于点D,E,F,若=,则=(B) A. B. C. D.1 2.(2024·内江)已知△ABC与△DEF相似,且相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的周长之比是(B) A.1∶1 B.1∶3 C.1∶6 D.1∶9 3.若△ABC∽△DEF,BC=6,EF=4,则=(D) A. B. C. D. 4.如图,数学活动课上,为测量学校旗杆高度,小菲同学在脚下水平放置一平面镜,然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上),直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m,镜子与旗杆的水平距离为10 m,则旗杆高度为(B) A.6.4 m B.8 m C.9.6 m D.12.5 m 5.若=,则= 　. 6.(2024·滨州)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB,则这个条件可以是　∠ADE=∠C(答案不唯一)　.(写出一种情况即可) 7.如图,在△ABC中,M,N分别为AC,BC的中点.若S△CMN=1,则S四边形ABNM=　3　. 8.如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2,点A是位似中心,已知点A(2,0),点C(a,b),∠C=90°.则点C'的坐标为(6-2a,-2b).(结果用含a,b的式子表示) 9.如图,在△ABC中,D是边AB上一点,按以下步骤作图: ①以点A为圆心,以适当长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N; ②以点D为圆心,以AM长为半径作弧,交DB于点M'; ③以点M'为圆心,以MN长为半径作弧,在∠BAC内部交前面的弧于点N'; ④过点N'作射线DN'交BC于点E. 若△BDE与四边形ACED的面积比为4∶21,则的值为 　. 10.如图,在6×6的方格纸中,点A,B,C均在格点上,试按要求画出相应格点图形. (1)如图1,作一条线段,使它是AB向右平移一格后的图形; (2)如图2,作一个多边形,使其为轴对称图形,AB和AC是它的两条边; (3)如图3,作一个与△ABC相似的三角形,相似比不等于1. 【解析】(1)如图1,CD为所作; (2)如图2即为所作(答案不唯一); (3)如图3,△EDC为所作(答案不唯一). 11.(2024·湖南)如图,在△ABC中,点D,E分别为边AB,AC的中点.下列结论中,错误的是(D) A.DE∥BC B.△ADE∽△ABC C.BC=2DE D.S△ADE=S△ABC 12.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点D在边AC上,且BD平分△ABC的周长,则BD的长是(C) A. B. C. D. 13.如图,在直角坐标系中,每个网格小正方形的边长均为1个单位长度,以点P为位似中心作正方形PA1A2A3,正方形PA4A5A6,…,按此规律作下去,所作正方形的顶点均在格点上,其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P(-3,0),A1(-2,1),A2(-1,0),A3(-2,-1),则顶点A100的坐标为(A) A.(31,34) B.(31,-34) C.(32,35) D.(32,0) 14.把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起,点E为AD的中点,连接BE交AC于点F,则= 　. 15.(2024·广元)数学实验,能增加学习数学的乐趣,还能经历知识“再创造”的过程,更是培养动手能力,创新能力的一种手段.小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形(如图1)产生了如下问题,请同学们帮他解决. 在△ABC中,点D为边AB上一点,连接CD. (1)初步探究 如图2,若∠ACD=∠B,求证:AC2=AD·AB; (2)尝试应用 如图3,在(1)的条件下,若点D为AB中点,BC=4,求CD的长; (3)创新提升 如图4,点E为CD中点,连接BE,若∠CDB=∠CBD=30°,∠ACD=∠EBD,AC=2,求BE的长. 【解析】(1)∵∠ACD=∠B,∠A=∠A, ∴△ACD∽△ABC, ∴=, ∴AC2=AD·AB; (2)∵点D为AB中点, ∴设AD=BD=m, 由(1)知△ACD∽△ABC, ∴AC2=AD·AB=m·2m=2m2, ∴AC=m, ∴△ACD与△ABC的相似比为=, ∴=, ∵BC=4, ∴CD=2; (3)过点C作EB的平行线交AB的延长线于点H,过C作CY⊥AB,如图1所示: ∵点E为CD中点, ∴设CE=DE=a, ∵∠CDB=∠CBD=30°, ∴CB=CD=2a,∠DCB=120°, 在Rt△BCY中,CY=BC=a, 则由勾股定理可得BD=2a, 过点B作BF⊥EC于点F,如图2所示: ∴∠FCB=60°, ∴∠CBF=30°, ∴C ... ...