第一章 §4　4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义（课件+学案+练习，3份打包）

(课件网) 第一章 <<< 4.1　单位圆与任意角的正弦 函数、余弦函数定义 1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义. 2.会求角的正弦、余弦的值. 3.会判断正弦、余弦函数值的符号. 学习目标 在初中，为了便于理解锐角三角函数的概念，我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形，利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)，但这种定义显然不适用于任意角的三角函数的定义.这节课就让我们一起探寻任意角的三角函数的本质，并对任意角的三角函数给出一个科学合理的定义吧. 导 语 一、任意角的正弦函数和余弦函数 二、利用角α的终边上任意一点的坐标求三角函数值 随堂演练 三、已知角的终边落在某一直线上，求其三角函数值 四、正弦、余弦函数值符号的判断 内容索引 课时对点练 一 任意角的正弦函数和余弦函数 在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，当α分别为时， (1)写出对应的点P1，P2，P3的坐标； 问题1 提示　P1. (2)P1，P2，P3的坐标与角的正、余弦的值有什么关系. 问题1 提示　每个角的正弦值都等于角的终边与单位圆交点的纵坐标，每个角的余弦值都等于角的终边与单位圆交点的横坐标. 1.对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，把点P的 定义为角α的正弦值，记作 ；把点P的 定义为角α的余弦值，记作 . 2.对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以v=sin α，u=cos α分别是以角α为自变量，以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的正弦、余弦函数. 纵坐标v v=sin α 横坐标u u=cos α 　　　在单位圆中，α=-. (1)画出角α； 例 1 如图，以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为始边，顺时针旋转 即为所作的角. (2)求角α的终边与单位圆的交点P的坐标； 设点P(u，v)，则u= 即点P的坐标为. (3)求角α的正弦函数值和余弦函数值. 由任意角正弦函数、余弦函数的定义， 得sin . 利用定义求角的正弦、余弦函数值关键在于确定角的终边与单位圆的交点坐标. 反 思 感 悟 二 利用角α的终边上任意一点的坐标求三角函数值 提示　如图所示，根据相似三角形可得，sin α=. 已知Q(x，y)是角α终边上除原点外的一点，如何求sin α与cos α？ 问题2 设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α=. (1)r的值恒大于零. (2)角α的正弦、余弦函数值的大小与在终边上的点的位置无关. 注 意 点 <<< 　　　已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ=x，求sin θ的值. 例 2 由题意知r=|OP|= 由三角函数定义得cos θ=. 又∵cos θ=x. ∵x≠0，∴x=±1.当x=1时，P(1，3)， 此时sin θ=. 当x=-1时，P(-1，3)，此时sin θ=. 综上，sin θ的值为. 在本例中，将“cos θ=”，求x的值. ∵|OP|= ∴sin θ= 解得x2=1，∴x=±1. 延伸探究 反 思 感 悟 (1)已知角α终边上除原点外的任意一点的坐标求三角函数值的方法 ①先利用角α的终边与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应的三角函数值. ②在角α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r> 0)，则sin α=.当已知α的终边上一点求α的三角 函数值时，用该方法更方便. 反 思 感 悟 (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 　　　　　已知角α的终边过点P(-3a，4a)(a≠0)，求2sin α+cos α的值. 跟踪训练 1 r==5|a|. (1)若a>0，则r=5a，角α是第二象限角， sin α= ∴2sin α+cos α==1； (2)若a<0，则r=-5a，角α是第四象限有， sin α= ∴2sin α+cos α=-=-1. 综上所述，2sin α+cos α的值为1或-1. 三 已知角的终边落在某一 ... ...