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课件网) 第一章 <<< 4.4 诱导公式与旋转 1.掌握的正弦、余弦诱导公式的推导过程. 2.对诱导公式能作综合归纳，体会出七组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力. 3.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题. 学习目标 风车最早出现在波斯，起初是立轴翼板式 风车，后来又发明了水平轴风车.如图所示 的风车是由4个扇叶组成，相邻两个扇叶 之间的角度为直角，若将风车扇叶的最外 侧看作一个质点，那么四个质点之间存在 什么关系？在平面直角坐标系中的坐标之间有什么关系？ 导 语 一、正弦函数、余弦函数诱导公式 二、利用诱导公式求值 随堂演练 三、利用诱导公式化简 四、诱导公式的综合应用 内容索引 课时对点练 一 正弦函数、余弦函数诱导公式 设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，将终边绕点O沿逆时针方向旋转的终边与单位圆交于点P'，求出点P'的坐标. 问题1 提示 由图可知P'(-v，u). 根据正弦函数、余弦函数的定义，角α+的正弦函数、余弦函数值分别是什么？ 问题2 提示 sin=-v. 角α与角α+的正弦函数、余弦函数具有什么样的关系？ 问题3 提示 sin=-sin α. 角α与角α-的正弦函数、余弦函数具有什么样的关系？ 问题4 提示 sin=sin α. 1.正弦函数、余弦函数诱导公式 角 正弦 余弦 α+2kπ(k∈Z) _____ _____ -α _____ _____ α+π _____ _____ α-π _____ _____ π-α _____ _____ sin α cos α -sin α cos α -sin α -cos α -sin α -cos α sin α -cos α 角 正弦 余弦 α+ _____ _____ -α _____ _____ cos α -sin α cos α sin α 2.正弦函数、余弦函数诱导公式的记忆方法 (1)α+2kπ(k∈Z)，-α，π-α，α±π的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上把α看作锐角时原函数值的符号，简记为“函数名不变，符号看象限”. (2)±α的函数值的符号.简记为“函数名改变，符号看象限”. 诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α看作锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”. 二 利用诱导公式求值 已知求的值. 例 1 方法一 因为 所以sin = 所以sin =sin. 因为=π， 所以 =- 所以. 方法二 设 所以 =cos(π-β)sin=-cos2β =-. 反 思 感 悟 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系，如 -θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题. (1)已知cos(π+α)=-= . 跟踪训练 1 ∵cos(π+α)=-cos α=- ∴cos α= 则sin. (2)已知= . sin =. 三 利用诱导公式化简 化简：其中k∈Z. 例 2 当k为偶数时，设k=2m(m∈Z)，则 原式= ==1. 当k为奇数时，设k=2m+1(m∈Z). 仿上化简得原式=1. 故原式=1. 反 思 感 悟 用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简. 化简：. 跟踪训练 2 原式= = = ==1. 四 诱导公式的综合应用 已知f(x)=. (1)化简f(x)； 例 3 f(x)= = =. (2)求f. f =. 反 思 感 悟 解决诱导公式与函数相结合的问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再化简或求值，这样可避免公式交错使用而导致的混乱. 已知f(α)=. (1)化简f(α)； 跟踪训练 3 f(α)==-cos α. (2)若cos(α-π)=求f(α)的值. 因为cos(α-π)= 所以cos α=- 所以f(α)=-cos α=. 1.知识清单： (1)正弦函数、余弦函数的诱导公式. (2)利用诱导公式进行化简、求值与证明. 2.方法归纳：公式法、构造法、转化与化归. 3.常见误区：函数名称、符号的变化，角与角之间的联系与构造. ... ...
