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课件网) 第二章 <<< 4.1 平面向量基本定理 1.了解平面向量基本定理及其意义，了解基、正交基、正交分解及标准正交基的概念. 2.掌握平面向量基本定理，会用基表示平面向量. 3.会用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题. 学习目标 在物理学中，一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，其作用力体现在两个方向：与斜面平行的方向和与斜面垂直的方向，故在解决问题时，常常要把重力分解为使物体沿斜面下滑的力F1和垂直于斜面的力F2.在实际应用中，常常需要把一 个力、速度、位移等分解为不同方向的分量的和. 任意两个向量做加法、减法或数乘运算的结果都是 一个向量，反过来，对于平面内给定的两个不共线的向量e1，e2，任一向量a都可以用形如λ1e1+λ2e2的形式来表示. 导 语 一、平面向量基本定理 二、用基表示向量 课时对点练 三、平面向量基本定理的应用 随堂演练 内容索引 一 平面向量基本定理 如图，同一平面内的三个向量e1，e2，a，已知e1，e2不共线，能否把向量a表示成λ1e1+λ2e2的形式？若能，λ1，λ2是否是唯一确定的？ 问题1 提示 在平面内任取一点O，作e1e2a， 过点C作平行于OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作 平行于OA的直线，与直线OB交于点N.由共线(平行)向量基 本定理可知，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使得λ1e1 λ2e2.又因为所以a=λ1e1+λ2e2.其中λ1，λ2都是唯一确定的. 如图，e1，e2是两个不共线的向量，试把向量写成λ1e1+λ2e2的形式. 问题2 提示 2e1+3e2-e1+4e2， 4e1-4e2-2e1+5e2. 1.平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面内两个 的向量，那么对该平面内 向量a，存在 的一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2. (2)基：把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记为{e1，e2}. 2.正交基、正交分解及标准正交基 (1)若基中的两个向量互相 ，则称这组基为正交基. (2)在 下向量的线性表示称为正交分解. (3)若基中的两个向量是互相垂直的 向量，则称这组基为标准正交基. 不共线 任意一个 唯一 垂直 正交基 单位 (1)基{e1，e2}不共线且是非零向量. (2)基不唯一，关键是不共线. (3)由定理可将任一向量a在给出基{e1，e2}的条件下进行分解. (4)基给定时，分解形式唯一. 注 意 点 <<< (多选)设{e1，e2}是平面内的一组基，则下列四组向量中，能作为基的是 A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-4e2和6e1-8e2 C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1和e1+e2 例 1 √ 选项B中，6e1-8e2=2(3e1-4e2)， ∴6e1-8e2与3e1-4e2共线， ∴不能作为基； 选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基. √ √ 考查两个向量是否能构成基，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示. 反 思 感 悟 已知向量{a，b}是一组基，实数x，y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b，则x-y= . 跟踪训练 1 因为{a，b}是一组基，所以a与b不共线， 由平面向量基本定理得 解得所以x-y=3. 3 二 用基表示向量 如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设ab，选择基{a，b}，试写出向量在此基下的分解式. 例 2 因为DC∥AB，AB=2CD，E，F分别是DC，AB的中点， 所以b. =- =-b-a+bb-a. 本例中，若设BC的中点为G，则 . 延伸探究 a+b =-b+a+b=a-b， 所以 =b+a-ba+b. 反 思 感 悟 (1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一组基都可以表示该平面内的任意一个向量.用基表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算. (2)基的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量. 平面向量基本定理的作用以及注 ... ...
