2.3确定二次函数的表达式 学案（学生版+教师版） 2024-2025学年数学北师大版九年级下册【素养目标】

3　确定二次函数的表达式 课时学习目标 素养目标达成 1.会用待定系数法求二次函数的表达式 模型观念、运算能力 2.能够根据不同的已知条件选用不同的方法,求二次函数的表达式 模型观念、运算能力 3.能运用二次函数解决有关的实际问题 模型观念、运算能力、应用意识 基础主干落实　　九层之台 起于累土 新知要点 对点小练 二次函数表达式的选择 已知条件选用 表达式设函数形式顶点和一个点坐标顶点式y=a(x-h)2+k两个未知字母系数 和两个点坐标一般式y=ax2+bx+c与x轴两个交点坐标交点式y=a(x-x1)(x-x2) 1.已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A(0,3),与x轴交于点B(1,0),则此抛物线的表达式为(D) A.y=x2+x+3 B.y=x2+x-3 C.y=x2-x-3 D.y=x2-x+3 2.对称轴是直线x=3的抛物线的表达式是(C) A.y=-x2+3 B.y=x2+3 C.y=-(x-3)2 D.y=(x+3)2 3.抛物线的顶点在坐标原点,且经过点(2,8),则该抛物线的表达式为　y=2x2　. 重点典例研析　　循道而行 方能致远 重点1设二次函数顶点式求表达式(模型观念,运算能力) 【典例1】(教材再开发·P43随堂练习T1拓展)已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(-1,2),且图象过点(1,-3). (1)求这个二次函数的表达式; (2)写出它的开口方向、对称轴. 【解析】(1)∵二次函数的图象的顶点坐标为(-1,2), ∴设函数表达式为y=a(x+1)2+2, ∵函数图象过点(1,-3), ∴a(1+1)2+2=-3,解得a=-, ∴抛物线的表达式为:y=-(x+1)2+2; (2)由(1)的函数表达式可得:抛物线的开口向下,对称轴为x=-1. 【举一反三】 1.(2024·昆明质检)若抛物线的顶点坐标是(-2,1)且经过点(1,-8),则该抛物线的表达式是(C) A.y=-9(x+2)2+1 B.y=-7(x-2)2-1 C.y=-(x+2)2+1 D.y=-(x+2)2-1 2.与抛物线y=3x2形状相同,开口向上,顶点为(3,-2)的抛物线的表达式为　y=3(x-3)2-2　. 【技法点拨】 已知顶点和另一点坐标求二次函数表达式的注意事项 1.设表达式时,不要漏掉“a”. 2.设表达式时,顶点坐标书写时,横坐标放在括号中,且是减. 3.将另一点坐标代入求a时,要注意“对号入座”. 重点2设二次函数一般式、交点式求表达式(模型观念,运算能力) 【典例2】(教材再开发·P42“做一做”强化)设二次函数y1=ax2-4x+c(a,c是常数)的图象与x轴有交点. (1)若图象与x轴交于A,B两点的坐标分别为(1,0),(3,0),求函数y1的表达式,并写出函数图象的顶点坐标. (2)若图象与x轴只有一个交点,且过(a,c),求此时a,c的值. (3)已知a=1,若函数y1的表达式还可以写成y1=(x-m)(x-n)(m,n为常数,m≠n且mn=2),设二次函数y2=-(x-m)(x-n),求y1-y2的最小值. 【解析】(1)将(1,0),(3,0)代入y1=ax2-4x+c得,, 解得, ∴y1=x2-4x+3, ∵y1=x2-4x+3=(x-2)2-1, ∴顶点坐标为(2,-1); (2)令ax2-4x+c=0, ∵图象与x轴只有一个交点, ∴Δ=(-4)2-4ac=0,即ac=4, 将(a,c)代入y1=ax2-4x+c得,c=a3-4a+c, 解得,a=2或a=-2或a=0(舍去), ∴当a=2时,c=2;当a=-2时,c=-2; (3)当a=1时,y1=x2-4x+c, ∵y1=(x-m)(x-n)=x2-(m+n)x+mn,mn=2, ∴m+n=4,c=2, ∴y1=x2-4x+2, ∴y1-y2=2y1=2(x2-4x+2)=2[(x-2)2-2], ∵a=2>0, ∴当x=2时,y1-y2的值最小,为-4. 【举一反三】 抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,0),(1,2),(3,0),则当x=5时,y的值为(D) A.6 B.1 C.-1 D.-6 【技法点拨】 求二次函数表达式的步骤 待定系数法→代入→组成方程组→解方程组→求出待定系数→确定二次函数表达式. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(3分·模型观念、运算能力)一个二次函数的图象的顶点坐标是(2,4),且过另一点(0,-4),则这个二次函数的表达式为(B) A.y=-2(x+2)2-4　 B.y=-2(x-2)2+4 C.y=2(x+2)2-4　 D.y=2(x-2)2+4 2.(3分·模型观念、运算能力)如图的抛物线的表达式为(C) A.y=x2-1 B.y=x2+1 C.y=(x-1)2 D.y=(x+1)2 3.(3分·模型观念、运算能力)点(-1,0)在一个二次项系数为1的二次 ... ...