中小学教育资源及组卷应用平台 平行四边 知识梳理 1.平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。 2.平行四边形的性质： (1)边：平行四边形的对边相等。 (2)角：平行四边形的对角相等。 (3)对角线：平行四边形的对角线互相平分。 3.平行线间的距离处处相等。 4.平行四边形的面积： (1)平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积。 (2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等。 5.平行四边形的判定：(如图1) (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 符号语言:∵AB∥DC,AD∥BC, ∴四边形 ABCD是平行四边形。 (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 符号语言:∵AB=DC,AD=BC, ∴四边形 ABCD 是平行四边形。 (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 符号语言:∵AB∥DC,AB=DC, ∴四边形 ABCD 是平行四边形。 (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 符号语言:∵∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB, ∴四边形 ABCD是平行四边形。 (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形。 符号语言:∵OA=OC,OB=OD, ∴四边形 ABCD 是平行四边形。 6.中心对称： 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫作中心对称图形，这个点叫作对称中心。 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同。常见的中心对称图形：平行四边形、圆形、正方形、长方形等。 7.中位线： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言:如图2,∵点 D、E分别是AB、AC的中点, 【例1】如图3,在平行四边形 ABCD中,AD=2AB;CF 平分∠BCD交AD 于F,作 垂足 E 在边AB上，连接EF。则下列结论： ①F是AD 的中点;②S△EBC=2S△CEF;③EF=CF;④∠DFE=3∠AEF。 其中一定成立的是 。(把所有正确结论的序号都填在横线上) 【变式训练1】如图4,已知 ABCD中,AD=2AB,F是BC 的中点,作 AE⊥CD,垂足E在线段CD 上,不与点C重合，连接EF、AF，下列结论中一定成立的是 ( )。 ①2∠BAF=∠BAD;②EF=AF;③S△ABF≤S△AEF;④∠BFE=3∠CEF。 A.①②④ B.①③ C.②③④ D.①②③④ 【变式训练2】如图5,平行四边形 ABCD中,M、N是BC 边上的点,且∠AMD=∠AND=90°,.则下列结论中一定成立的是 。(把所有正确结论的序号都填在横线上) ①∠NAD=∠ADM,②BM=MC,③AN=DM,④AM=DN。 【例2】在面积为15 的平行四边形ABCD中，过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E，作AF垂直于直线CD于点 F,若AB=5,BC=6,则CE+CF的值为多少 【变式训练3】在平行四边形 ABCD中,AE平分∠BAD交直线BC 于点E,BE:EC=2:1,且AB=6,那么这个四边形的周长是 。 【变式训练4】 ABCD中,∠B=45°,AB=6 ,E为直线BC 上一点,且∠CDE=15°,则 DE 的长为 。 【例3】如图6,点 P 为平行四边形 ABCD 内的任意一点连接PA、PB、PC、PD。设△PAB、△PBC、△PCD、△PAD的面积分别为S 、S 、S 、S ,则S 、S 、S 、S 之间的等量关系为 。 【变式训练5】如图7,在平行四边形 ABCD中,点O是对角线 AC上一点,连接BO、DO、△COD、△AOD、△AOB、△BOC 的面积分别是S 、S 、S 、S ,下列关于 S 、S 、S 、S 的等量关系式中错误的是 ( )。 【变式训练6】如图8，点 O是 的对称中心， ,E、F是AB 边上的点,且 G、H是BC 边上的点，且 若 分别表示 和 的面积，则 与 之间的等量关系是 。 【例4】阅读下面操作过程，回答后面的问题：在一次数学实践探究活动中，如图9，小强过A、C两点画直线AC把平行四边形ABCD 分割成两个部分(如图①)，小刚过AB、AC的中点画直线EF，把平行四边形 ABCD也分割成两个部分(如图②)； (1)这两种分割方法中面积之间的关系为：、 (2)根据这 ... ...
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