第九讲 特殊平行四边形 知识 梳 理 矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 矩形的性质： 1.平行四边形的性质矩形都具有。 2.角：矩形的四个角都是直角。 3.边：邻边垂直。 4.对角线：矩形的对角线相等。 5.矩形是轴对称图形，又是中心对称图形。它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点。 由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 矩形的判定： 1.有1个角是直角的平行四边形是矩形。 2.有3个角是直角的四边形是矩形。 3.对角线相等的平行四边形是矩形(或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”)。 证明1个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证明这个四边形的对角线相等。题设中出现多个直角或垂直时，常采用“3个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形。 菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。 菱形的性质： 1.菱形具有平行四边形的一切性质。 2.菱形的四条边都相等。 3.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 4.菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线。 菱形的面积计算： 1.利用平行四边形的面积公式。 2.菱形面积 (a、b.是两条对角线的长度)。 菱形的判定： 1.一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形+一组邻边相等=菱形)。 2.四条边都相等的四边形是菱形。 几何语言:∵AB=BC=CD=DA, ∴四边形 ABCD 是菱形。 3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形(或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”)。 几何语言:∵AC⊥BD,四边形 ABCD是平行四边形, ∴平行四边形 ABCD 是菱形。 正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 正方形的性质： 1.正方形的四条边都相等，四个角都是直角。 2.正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角。 3.正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 4.两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴。 正方形的判定方法： 1.先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等。 2.先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角。 3.还可以先判定四边形是平行四边形，再用1 或2 进行判定。 【例1】如图1,在 Rt△ABC中,∠A=90°,P 为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,动点 P从点B 出发，沿着 BC匀速向终点C 运动，则线段EF的值大小变化情况是 ( )。 A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后增大 D.先增大后减少 【变式训练1】如图2,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,且BA=3,AC=4,点 D是斜边BC上的一个动点,过点D 分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连接MN,则线段 MN的最小值为 。 【变式训练2】如图3,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,且BA=9,AC=12,点 D 是斜边 BC 上的一个动点,过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点 F,点G为四边形DEAF 对角线交点,则线段GF的最小值为 ( )。 A. B. C. D. 【例2】如图4,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD 上不与A 和D 重合的一个动点,过点 P 分别作AC和BD 的垂线,垂足为 E、F,求 PE+PF 的值。 【变式训练3】如图5： (1)在矩形 ABCD中, P 是线段AD 上的动点， 于点E， 于点 F，如图①，图②，选择其中一个图形，探究 PE、PF之间存在什么数量关系，并证明你的结论。 (2)若将“P是线段AD 上的动点”改成“P 是线段AD 延长线上一动点”，如图③所示，请继续探究PE、PF 之间存在什么数量关系 并证明你的结论。 【例3】如图6,已知矩形ABCD,AB=4,AD=6,点 E为AB 边的中点,点 F 为BC 边上的动点,点 B 和点B'关于EF 对称,则 的最小值是 。 【变式训练4】如图7,在菱形 ABCD 中, 点 P 是平面内一点，且 则 DP的最 ... ...
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