中小学教育资源及组卷应用平台 第十讲 中点的妙用 知识梳理 线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边的中线、中心对称图形、三角形中位线等丰富的知识，恰当的利用中点、处理中点是解与中点有关问题的关键。常见妙用方法如下：倍长中线、巧用斜中、构造中位线、中心对称造全等。 基本图形如下： 【例1】如图2,BD、CE是△ABC的中线,P、Q分别是BD、CE 的中点,则 PQ:BC等于 ( )。 A.1:4 B.1:5 C.1:6 D.1:7 【变式训练1】如图3,在△ABC中,点 D在BC上,BD=AB,BM⊥AD于点M,N是AC 的中点,连接MN。若AB=5,BC=8,则MN= 。 【变式训练2】如图4,在梯形 ABCD中,AD∥BC,E 和F 分别是BD、AC 的中点,若 BC=10,AD=6,则线段 EF的长为 ( )。 A.8 B.5 C.3 D.2 【例2】如图5,在四边形ABCD中,AB=DC,E、F分别是AD、BC的中点,G、H分别是对角线BD、AC的中点。 (1)求证:四边形 EGFH 是菱形; (2)若 则当∠ABC+∠DCB=90°时,求四边形 EGFH 的面积。 【变式训练3】如图6,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA 的中点。当BD、AC满足什么条件时,四边形EFGH 是正方形。 【变式训练4】已知图7:如图①,四边形 ABCD 四条边上的中点分别为E、F、G、H,顺次连接EF、FG、GH、HE,得到四边形 EFGH(即四边形 ABCD 的中点四边形)。 (1)四边形 EFGH 的形状是 ，证明你的结论； (2)如图②，请连接四边形 ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD 满足 条件时，四边形EFGH 是矩形；证明你的结论； (3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形 说明理由。 【例3】如图8,在梯形 ABCD中, 点E、F 分别是AB、CD的中点，我们把线段 EF称为梯形AB-CD 的中位线，通过观察、测量，猜想EF和AD，BC有怎样的位置关系和数量关系，并证明你的结论。 【变式训练5】如图9,DE 是 C的中位线,M、N分别是BD、CE的中点,DE=4,则MN= 。 【变式训练6】如图10，边长为1的正方形EFGH 在边长为3的正方形ABCD 所在平面上移动，始终保持EF∥AB。线段CF的中点为M,DH 的中点为N,则线段MN的长为 ( )。 【例4】如图11,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB 的中点,DE⊥DF,DE交AC 于点E,DF 交BC 于点 F。求证: 【变式训练7】如图12,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为斜边的中点,点 E、点 F 分别在直线CA、BC上,且DE⊥DF。 (1)证明：△DEF 是等腰直角三角形； (2)求证: (3)若AE=5,BF=12,求 S△CEF的值; (4)探索S△CEF、S△DEF、S△ABC之间的数量关系。 【变式训练8】如图 13，△ABC是直角三角形，∠CAB=90°，D是斜边 BC上的中点，一块直角三角板直角顶点与 D重合，绕D 转动，直角三角板的两直角边分别与AB、AC交于E、F。 (1)(如图①)若AB=AC，直角三角形在转动过程中是否始终有DE=DF，并说明理由； (2)(如图①)若AB=AC,BE=12,CF=5,求△DEF 的面积; (3)(如图①)若AB=AC,求证: (4)(如图②)若AB≠AC,是否仍然有 成立 并说明理由。 【例5】如图14,四边形 ABCD中,BD⊥CD,CA⊥BA,点 M、N分别为BC、AD中点。 (1)求证:MN⊥AD; (2)若.AD=a,MN=b,求 BC的长。 【变式训练9】如图15，在 中， 于D, 于E,点 M、N分别是BC、DE的中点。 (1)求证: (2)若 求 MN的值。 【变式训练10】如图16，已知四边形ABCD中， ,点 E 为AC 中点,点 F 为BD中点。求证:EF⊥BD。 【例6】如图17,在等边△ABC中,AB=6,∠AFB=90°,则CF 的最小值为 ( )。 A.3 B. 【变式训练11】如图18,在平面直角坐标系中,已知点A(0,1)、点B(0,1+t)、C(0,1-t)(t>0),点 P 在以D(3，3)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足 ，则t的最小值是 。 【变式训练12】如图 19，已知正方形 ABCD 的边长为 点O为正方形的中心，点G 为AB 边上一动点,直线GO交CD 于点H,过点 D作DE⊥GO,垂足为点E,连接CE,则CE 的最小值为 ( )。 A.2 C. 【例7】如图20:(1)如图①,四边形 ABCD,A ... ...
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