第十二讲 图形的变换 知识梳理 图形的折叠： 图形的折叠是指把某个图形沿某直线翻折，这条直线为对称轴，在折叠过程中，线段的长度、角的度数保持不变。 解图形折叠问题，首先要正确添加能完整显示折起部分与重合部分的辅助线；其次必须认识到折起部分与重合部分全等，并注意运用全等形的性质。 字母化、建立方程、数形结合，必要时从动手操作中寻找答案，都是解图形折叠问题的常用技巧。 图形的平移： 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小，有下列基本性质： 1.平移前后的图形全等。 2.对应线段平行且相等、对应角相等。 3.对应点的连线平行且相等。 解与平移相关的问题，常用到平行四边形、全等三角形知识，解题的关键是利用图形平移中的不变量与不变性。 图形的旋转： 1.对应点到旋转中心的距离相等。 2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 3.旋转前、后的图形全等。 旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度。 注意：三要素中只要任意改变一个，图形位置就会不一样。 图形的分割： 所谓图形分割，就是在保持面积不变的前提下，将一个或几个图形分割成两个或几个图形。这类问题直观性强，有较强的趣味性，解决问题过程中，既要勤于动手，又要善于动脑，其基本类型有： 1.把图形分割成面积相等的几部分。 2.把图形分割成形状相同的几部分。 3.把图形分割成轴对称或中心对称图形。 4.把图形分割成满足特定要求的几部分。 图形的对称性、面积关系、角之间的关系是解图形分割问题的常用策略。 图形的剪拼： 把一张纸经过数次折叠后，用剪刀剪去其中一部分，往往能得到美丽的图案。把一个图形通过分割后再重新拼接，常常能得到一个新的图形。 图形的剪拼，是学习平面几何过程中重要一环，通过对图形的剪拼，我们可以发现一些几何结论并知晓这些结论是怎样被证明的。 在剪拼过程中，新图形与原图形的面积一般保持不变。先求出剪拼后的图形所需关键线段的长度，再从剪拼前的图形中寻找这些长度进行裁剪，这是解剪拼问题的基本策略。 【例1】如图1,矩形纸片ABCD,AD=2AB=12,点E在线段BC上,将△ECD沿DE 向上翻折,点C的对应点 C'落在线段AD 上，点 M、N分别是线段AD 与线段BC上的点，将四边形 ABNM沿MN 向下翻折，点A 恰好落在线段DE 的中点A'处，则线段 MN 的长为 。 【变式训练1】如图2，在矩形 ABCD中，E为边CD 上一点，将△ADE沿直线AE 翻折，使得点 D 的对应点F 落在BC 边上。若AD=4,∠DAE=15°,则CE的长度是 ( )。 D.1 【变式训练2】矩形ABCD中,AB=3,AD=6,点 E 是边AD 上的一个动点,把 沿BE 折叠，若点A 的对应点A'恰落在矩形ABCD 的对称轴上，则AE= 。 【例2】如图3,菱形ABCD的周长为24,∠ABD=30°,点 P 是对角线BD 上一动点,Q 是BC 的中点,则PC+PQ的最小值是 ( )。 A.6 B.3 C.3 【变式训练3】如图4,在菱形 ABCD中,对角线AC=6,BD=8,点 E、F分别是边AB、BC的中点,若点 P在AC 上运动,则 PE+PF的最小值是 。 【变式训练4】如图5,正方形 ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC 上的一动点,求 DN+MN的最小值。 【例3】如图6,已知△ABC中,∠A=45°,AB=6,AC=4 点 D、E、F 分别是三边AB、BC、CA 上的点,,,则△DEF周长的最小值是 。 【变式训练5】如图7,已知AD∥BC,∠B=90°,∠C=60°,BC=2AD=4,点M为边BC 的中点,点E、F在边AB、CD上运动,点 P 在线段MC上运动,连接EF、EP、PF,则△EFP 的周长最小值为 。 【变式训练6】如图8,已知点C(1,0),直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A,B 两点,D、E分别是AB、OA 上的动点，则△CDE周长的最小值是 。 【例4】如图9,△ABC是等边三角形,点D 为边AC的中点,BD=12cm,点 P 为中线BD 上的动点,则CP 的最小值是 。 【变式训练7】如 ... ...
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