中小学教育资源及组卷应用平台 第五讲 一元二次方程解的应用 知识 梳理 要点诠释》 1.根与系数的关系 (1)若二次项系数为1，常用以下关系：x 、x 是方程 的两根时， 反过来可得 前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数； (2)若二次项系数不为1，则常用以下关系：x 、x 是一元二次方程 的两根时， 反过来也成立，即 (3)常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根；②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数；③不解方程求关于根的式子的值，如求， 等；④判断两根的符号；⑤求作新方程；⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值。这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件。 2.一元二次方程的整数根问题将数论知识与一元二次方程的知识相结合，涉及面大，灵活性强 涉及一元二次方程的整数根问题有： (1)系数为整数的一元二次方程的整数根问题； (2)系数为有理数的一元二次方程的整数根问题； (3)系数为实数的一元二次方程的整数根问题。 求一元二次方程的整数根，一般有以下几种方法： (1)从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解； (2)从判别式入手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(△=k)进行求解； (3)从韦达定理入手，从根与系数的关系中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解； (4)从变更主元入手，当方程中参数次数较低且性质优异，客优于主，称反客为主，可考虑以参数为主元求解。 【例1】已知关于x的一元二次方程 的一个根是2，则另一个根是 ( )。 B. C.3 D.-3 【变式训练1】一元二次方程 有一个根是x=3，则a的值及方程的另一个根是 ( )。 A. a=3,x=1 D. a=-1,x=-3 【变式训练2】如果关于x的一元二次方程 的一个根是 ，那么另一个根是 ，a的值为 。 【例2】已知方程 的两根为x 、x ,则 【变式训练3】若x 、x 是一元二次方程 的两根，则 的值是 ( )。 A.-1 B.1 C.5 D.-5 【变式训练4】设x 、x 是方程 的两个实数根，则 的值为 ( )。 A.9 B.-9 C.1 D.-1 【例3】若α、β是一元二次方程 的两根，则 的值是 ( )。 【变式训练5】已知α、β是关于x 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 则m的值是 ( )。 A.3 B.1 C.3或-1 D.-3或1 【变式训练6】已知实数m、n满足 且m≠n,则 【例4】已知关于x的方程 有两个实数根x 、x 。 (1)求实数k的取值范围； (2)若x 、x 满足 求实数k的值。 【变式训练7】已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两实根为x 、x ,且 求m的值。 【变式训练8】关于 x的方程 (1)求证：无论k为何值，方程总有实数根； (2)设x 、x 是方程( 的两个根，记 S的值能为2 吗 若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由。 【例5】已知关于 x的一元二次方程 有两个实数根 (1)求实数k的取值范围； (2)当实数k为何值时，代数式 取得最小值，并求出该最小值。 【变式训练9】已知x 和x 是关于x 的一元二次方程 的两个根，求 的最小值。 【变式训练10】已知x 、x 是方程 的两个实数根，试求 的最小值。 【例6】关于x的一元二次方程 (1)求证：无论 k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)要使得方程的两个实数根都是整数，求整数 k可能取值。 【变式训练11】已知：关于x的一元二次方程( 有两个实数根。 (1)求k的取值范围； (2)如果 k为正整数，且该方程的两个实根都是整数，求k的值。 【变式训练12】已知关于x的方程( k是实数。 (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)当k的值取 时，方程有整数解。(直接写出3个k的值) 【例7】已知关于x的方程 (1)求证：不论m为何值，方程必有实数根； (2)当m为整 ... ...
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