5.4.1 圆周角定理及其推论1，2（学案带答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 5.4.1 圆周角定理及其推论1，2（学案带答案） 列清单·划重点 知识点1 圆周角 顶点在圆上，两边在圆内的部分分别是_____，像这样的角叫做圆周角. 注意 圆周角必须具备两个特征：(1)顶点在圆上；(2)角的两边都和圆相交.二者缺一不可.例如，如图所示的角，只有③是圆周角，而①②④⑤都不是圆周角. 知识点2 圆周角定理及其推论 1.定理：圆周角的度数等于_____上的圆心角度数的一半. 符号语言:∵∠APB是 所对圆周角，∠AOB是 所对圆心角. 2.推论1：圆周角的度数等于_____的度数的一半. 符号语言： ∵∠APB是 所对圆周角， 的度数. 3.推论2：_____所对的圆周角相等. 符号语言： ∵∠C与∠D都是 所对圆周角，∴∠C=∠D.(或 ∴∠C=∠D.) 注意 在同圆或等圆中，要证明两个圆周角相等，常借助于圆周角所对的弧是同弧或等弧进行证明. 明考点·识方法 考点1 圆周角定理的应用 典例1 如图,AB 是⊙O的直径,C,D 是⊙O 上 两 点, BA 平 分∠CBD,若∠AOD=50°,则∠A 的度数为 ( ) A. 65° B. 55° C. 50° D. 75° 思路导析 先利用圆周角定理可得∠ABD= 然后利用角平分线定义得∠ABC=25°，根据圆周角定理得 再根据三角形内角和定理进行计算即可解答. 变式1 如图,AB 是⊙O的直径,点 C,D在⊙O上,连接CD,OD,AC,若则 的度数是 ( ) A. 56° B. 33° C. 28° D. 23° 变式2 如图,AB,AC是⊙O的弦,OB,OC 是⊙O的半径,点 P 为OB 上任意一点(点P 不与点 B 重合)，连接CP.若则 的度数可能是 ( ) 考点2 圆周角定理的推论1的应用 典例2 如图所示，已知在⊙O中，的度数为 点 D 是 的中点，求弦AB 所对的圆心角和圆周角的度数. 思路导析 注意弦 AB 所对的圆周角有两种情形：一种是顶点在优弧上，一种是顶点在劣弧上. 注意 一条弦(非直径)所对的弧有两条，因此，一条弦(非直径)所对的圆周角有两种情形：一种是圆周角的顶点在优弧上；另一种是圆周角的顶点在劣弧上，而且这两种圆周角是互补的. 变式 如图，四边形 ABCD的顶点均在⊙O上，若 则 的度数是 ( ) 考点3 圆周角定理的推论2的应用 典例3 如图,在⊙O中,弦AB,CD 相交于点 P,若 则∠B 的度数为 ( ) A. 32° B. 42° C. 48° D. 52° 思路导析 根据圆周角定理的推论2，可以得到∠D的度数，再根据三角形的外角的性质，可以求出∠B的度数. 变式 如图,在⊙O 中,OA⊥BC,∠AOB=60°,则∠ADC 的度数为_____. 当堂测·夯基础 1.如图,AB,AC为⊙O的两条弦,连接OB,OC,若∠A = 45°,则∠BOC的度数为 ( ) A. 60° B. 75° C. 90° D. 135° 2.如图,CD 是⊙O的直径, 点A,B在⊙O上.若 则 ( ) A. 9° B. 18° C. 36° D. 45° 3.如图，⊙O的直径AB 平分弦CD(不是直径).若∠D=35°,则∠C=_____°. 4.如图,A,B,C 三点都在⊙O 上,已知则∠OAB+∠OCB =_____°. 5.如图,A,B,C三点都在⊙O上. (1)若 则 (2)若∠C=50°,则. (3)若 则 (4)若∠AOB=α,则. 参考答案 【列清单·划重点】 知识点1 圆的弦 知识点2 1.它所对弧 2.它所对弧 3.同弧或等弧 【明考点·识方法】 典例1 A 解析:∵∠AOD=50°, ∵BA平分∠CBD,∴∠ABC=∠ABD=25°, ∵∠AOB=180°, ∴∠A=180°-90°-25°=65°. 变式1 C 变式2 D 典例2 解：如图所示，连接AD,BD. 的度数为60°，D为AB的中点， 的度数 的度数=120°,∴∠AOB=120°, 的度数 的度数=240°, 的度数=120°, ∴弦AB所对的圆心角为120°，所对的圆周角为60°或120°. 变式 B 典例3 A 解析:∵∠A=∠D,∠A=48°,∴∠D=48°, ∵∠APD=80°,∠APD=∠B+∠D,∴∠B=∠APD-∠D=80°-48°=32°. 变式 30° 【当堂测·夯基础】 1. C 2. B 3. 55 4. 111 5.(1)60° (2)100° (3)70° 解析:(1)∵∠AOB=120°, 故答案为:60°; (2)∵∠C=50°,∴∠AOB=2∠C=100°,故答案为:100°; 故答案为： ... ...